Grad der Körpererweiterung bestimmen |
10.06.2017, 10:13 | wauiesfan1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Grad der Körpererweiterung bestimmen a) ( ( )) ( ) über b) ( ( , ) über ( ) c) ( ( + ) über ( ) Wie gehe ich bei so einem Beispiel am besten vor? |
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10.06.2017, 11:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für algebraische Erweiterungen lohnt es sich immer, Minimalpolynome zu suchen. , und eine -Basis von ist gegeben durch |
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11.06.2017, 10:57 | wauiesfan1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
n = [ ( () ) () : ] = ? -Basis von ( () ) ( ) ist (1, , ()^2, ()^3, ... , ()^(n-1) ) Also ist das so gemeint? Aber wie ich jetzt zum Grad der Erweiterung komme verstehe ich noch nicht. |
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11.06.2017, 17:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Minimalpolynom von ist das kleinste Polynom aus , das zur Nullstelle hat. ist Nullstelle von , denn nach Definition ist , und ein rationales Polynom vom Grad 1 hat nicht zur Nullstelle, sonst wäre , wir wissen aber dass ist. Folglich ist eine -Basis von mithin . Höhere Potenzen einer Quadratwurzel zu betrachten ist nicht sehr sinnvoll, denn das Quadrat einer Quadratwurzel liegt selbstverständlich immer in . Für das erste Beispiel musst du nur noch das Minimalpolynom von in suchen, dann hast du eine Basis und den Grad von . Der Gradsatz gibt dann die Antwort auf die Frage nach . |
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