Grad der Körpererweiterung bestimmen

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wauiesfan1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grad der Körpererweiterung bestimmen
Bestimme für die folgende Körpererweiterungen den Grad der Erweiterung und gib eine Basis an.
a) ( ( )) ( ) über
b) ( ( , ) über ( )
c) ( ( + ) über ( )

Wie gehe ich bei so einem Beispiel am besten vor?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für algebraische Erweiterungen lohnt es sich immer, Minimalpolynome zu suchen.
, und eine -Basis von ist gegeben durch
wauiesfan1 Auf diesen Beitrag antworten »

n = [ ( () ) () : ] = ?

-Basis von ( () ) ( ) ist (1, , ()^2, ()^3, ... , ()^(n-1) )

Also ist das so gemeint?
Aber wie ich jetzt zum Grad der Erweiterung komme verstehe ich noch nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Minimalpolynom von ist das kleinste Polynom aus , das zur Nullstelle hat. ist Nullstelle von , denn nach Definition ist , und ein rationales Polynom vom Grad 1 hat nicht zur Nullstelle, sonst wäre , wir wissen aber dass ist. Folglich ist eine -Basis von mithin . Höhere Potenzen einer Quadratwurzel zu betrachten ist nicht sehr sinnvoll, denn das Quadrat einer Quadratwurzel liegt selbstverständlich immer in . Für das erste Beispiel musst du nur noch das Minimalpolynom von in suchen, dann hast du eine Basis und den Grad von . Der Gradsatz gibt dann die Antwort auf die Frage nach .
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