Morphismen vs meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen

10.06.2017, 14:55	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Morphismen vs meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen Hallo zusammen! Ich bin irgendwie ein bisschen verwirrt, wenn ich hier meine aktuelle Quelle durcharbeite. Bitte nicht von dem vielen Einleitungstext abschrecken lassen, die Lösung liegt garantiert auf der Hand. Folgendes Wissen habe ich: Ich betrachte stets eine kompakte Riemannsche Fläche $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Ich weiß, dass die meromorphen Funktionen $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ hierauf einen Körper bilden, den ich mit $\begin{eqnarray} \mathcal{M}(X) \end{eqnarray}$ bezeichne. Die Ordnung in einem Punkt $\begin{eqnarray} P \in X \end{eqnarray}$ ergibt sich ja aus der Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray} f \circ \varphi^{-1} \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für eine Karte $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , die in $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zentriert ist und zeigt im klassischen Sinne ja an, ob eine Nullstelle oder ein Pol vorhanden ist. Weiter ist für einen Morphismus $\begin{eqnarray} F: X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ zwischen kompakten RF die Multiplizität in einem Punkt $\begin{eqnarray} P \in X \end{eqnarray}$ , schreibe $\begin{eqnarray} m_P(F) \end{eqnarray}$ , definiert als $\begin{eqnarray} \textnormal{ord}_P(\psi \circ F) \end{eqnarray}$ für eine Karte $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , die in $\begin{eqnarray} F(P) \end{eqnarray}$ zentriert ist. Ich weiß außerdem, dass es eine Korrespondenz gibt zwischen meromorphen Funktionen $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ auf einer kompakten RF $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und Morphismen $\begin{eqnarray} F: X \rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ , die nicht "die konstante Unendlich-Funktion" sind. Entsprechend sieht man leicht, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} m_P(F)&=\textnormal{ord}_P(f), \ \textnormal{falls} \ P \ \textnormal{NST von} \ f, \\ m_P(F)&=-\textnormal{ord}_P(f), \ \textnormal{falls} \ P \ \textnormal{Pol von} \ f. \end{eqnarray}$ Abschließend weiß ich, dass man für jeden Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ einer kompakten RF eine Bewertung $\begin{eqnarray} \nu_P \end{eqnarray}$ auf dem Körper der meromorphen Funktionen definieren kann via $\begin{eqnarray} \nu_P(f):= \textnormal{ord}_P(f) \end{eqnarray}$ . Soweit, so gut. Nach dieser ganzen Einleitung wird dann in der Quelle die Galois-Wirkung auf RF untersucht. In diesem Zusammenhang taucht dann immer wieder solch eine Situation auf: Wir haben jetzt einen Morphismus $\begin{eqnarray} F: X \rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ und eine meromorphe Funktion $\begin{eqnarray} R(x) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ . Jetzt wird hier für einen Punkt $\begin{eqnarray} P \in X \end{eqnarray}$ berechnet $\begin{eqnarray} \nu_P(R \circ F)=\textnormal{ord}_P(F) \cdot \textnormal{ord}_{F(P)}(R(x))= m_{P}(F) \cdot \textnormal{ord}_{F(P)}(R(x)) \end{eqnarray}$ . Hier meine Frage: Wieso kann ich hier einfach die Ordnung von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ durch seine Multiplizität ersetzen? Ich kenne wie gesagt oben angesprochene Korrespondenz, aber was, wenn die hierzu korrespondierende Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einen Pol hat? Dann wäre die Ordnung von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ negativ und würde nicht mit der Multiplizität übereinstimmen. Mehr noch: In meinen Augen ist der Ausdruck $\begin{eqnarray} \textnormal{ord}_P(F) \end{eqnarray}$ in der Form, wie er da steht, gar nicht definiert, da die Ordnung nur für meromorphe Funktionen definiert ist. Im weiteren Verlauf wird dann wie gesagt die Galois-Wirkung untersucht. Hier wird gesagt, dass wenn man ein Tupel $\begin{eqnarray} (X,F) \end{eqnarray}$ bestehend aus einer kompakten RF $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und einem Morphismus $\begin{eqnarray} F: X \rightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ hat, unter der Galoiswirkung (die natürliche Wirkung auf den koeffizienten der beschreibenden Polynome) bestimmte Eigenschaften der RF und des Morphismus konstant bleiben. Vorher wurde eine "Galois-konjugierte" Bewertung auf dem Körper der meromorphen Funktionen von $\begin{eqnarray} X^{\sigma} \end{eqnarray}$ definiert via $\begin{eqnarray} \nu_{P^{\sigma}}(f^{\sigma}):=\nu_P(f) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ wieder eine rationale Funktion und $\begin{eqnarray} \sigma \in \textnormal{Gal}(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ , so wird hier zunächst wie vorher gerechnet: $\begin{eqnarray} \nu_{P^{\sigma}}(R^{\sigma} \circ F^{\sigma}) = \nu_P(R \circ F) = \textnormal{ord}_P(F) \cdot \textnormal{ord}_{F(P)}(R) \\ = m_{P}(F) \cdot \textnormal{ord}_{F(P)}(R) \\ = m_{P^{\sigma}}(F^{\sigma}) \cdot \textnormal{ord}_{(F(P))^{\sigma}}(R^{\sigma}) \end{eqnarray}$ . Der letzte Umformungsschritt wird dann damit begründet, dass nach Definition der konjugierten Bewertung ja gilt $\begin{eqnarray} \textnormal{ord}_{P^{\sigma}}(F^{\sigma})=\nu_{P^{\sigma}}(F^{\sigma})=\nu_P(F)=\textnormal{ord}_P(F). \end{eqnarray}$ Auch hier sehe ich zum Einen nicht, was überhaupt die Terme mit der Ordnung bedeuten sollen, da sie nicht definiert sind. Es wäre für mich verständlich, wenn man damit die Ordnung der korrespondierenden meromorphen Funktion meinen würde. Aber dann verstehe ich nicht, wieso man die Multiplizität hier einfach durch die Ordnung ersetzen kann, aus oben angesprochenen Gründen. Vielleicht kann ja jemand von euch ein wenig Licht ins Dunkel bringen, ich wäre euch super dankbar! Wie gesagt, ich

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