Komplexes Wegintegral Null

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11.06.2017, 09:33	Kundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Wegintegral Null Meine Frage: Hey, Sei $\begin{eqnarray} \partial K_R(0) \end{eqnarray}$ der Kreis um 0 mit Radius R. Zeige: $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty } \int_{\partial K_R(0)} \! \frac{dz}{z^3+z+1} = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe es so versucht: $\begin{eqnarray} \gamma (t) = R(cost+isint) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma'(t)=R(-sint+icost) \end{eqnarray}$ , als Parametrisierung des Kreisrandes. Das dann ins Integral einsetzen wird allerdings durch die dritte Potenz sehr unschön, ich kann das nicht sinnvoll vereinfachen. Die polare Darstellung mit der e-Funktion ist auch nicht viel besser. Wie löst man das am geschicktesten?
11.06.2017, 10:07	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinnvoller ist, die Exponentialdarstellung des Weges zu verwenden, nämlich $\begin{align} \gamma(t) = Re^{it} \end{align}$ , das ist übersichtlicher. Danach einfach rigoros abschätzen. Beachte, dass $\begin{align} \|e^{it}\| = 1 \end{align}$ . Wenn es nicht weiter geht, zeig uns, an welcher Stelle es scheitert.
11.06.2017, 10:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im übrigen ist es nicht wesentlich schwieriger, gleich $\begin{align} \lim_{R\to\infty} \int\limits_{\partial K_R(0)} \frac{\dd z}{g(z)} = 0 \end{align}$ für jedes Polynom $\begin{align} g \end{align}$ mindestens zweiten Grades nachzuweisen. Tatsächlich ist es sogar so, dass man ein $\begin{align} R_0 \end{align}$ findet, so dass $\begin{align} \int\limits_{\partial K_R(0)} \frac{\dd z}{g(z)} = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} R\geq R_0 \end{align}$ gilt - eine viel stärkere Aussage.
11.06.2017, 10:25	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hal 9000: Der übliche Weg, die zweite Aussage zu zeigen, ist aber glaube ich die erste + Residuensatz/Homotopieaussagen oder?
11.06.2017, 10:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So genau kenne ich mich mit diversen Abstufungen der Residuensätze auch nicht aus. Eigentlich tut es m.E. auch bereits die Substitution $\begin{align} w=\frac{1}{z} \end{align}$ in Verbindung mit dem Cauchyschen Integralsatz, denn dann bekommt man $\begin{align} \int\limits_{K_{1/R}(0)} h(w) ~ \dd w \end{align}$ mit einer gebrochen rationalen Funktion $\begin{align} h \end{align}$ , die im Nullpunkt keine Polstelle hat.
11.06.2017, 10:57	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, nett. Dann umgeht man die erste Aussage.
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11.06.2017, 13:49	Kundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Versuch, mit Abschätzungen ans Ziel zu gelangen: $\begin{eqnarray} \gamma (t) = Re^{it} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma' (t) = iRe^{it} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \! f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \! \frac{iRe^{it}}{R^3e^{3it}+Re^{it}+1} \, dt \leq \int_{0}^{2\pi} \! \frac{iRe^{it}}{R^3e^{3it}+Re^{it}}dt = \int_{0}^{2\pi} \! \frac{i}{R^2e^{2it}+1}dt \leq \int_{0}^{2\pi} \! \frac{i}{R^2e^{2it}}dt = \frac{-i}{2R^2} (e^{-4\pi i} -1) = 0 \end{eqnarray}$ Damit hab ich gezeigt, dass es kleiner/gleich 0 ist, wobei ich R gegen unendlich gar nicht verwendet habe. Größer/gleich 0 ist es ja ohnehin, da ja alle Summanden im Bruch jeweils nichtnegativ sind, oder? Was meint ihr dazu?
11.06.2017, 14:00	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann komplexe Zahlen nicht abschätzen, es gibt keine Ordnung auf $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ , du musst schon den Betrag des Integranden betrachten.
11.06.2017, 16:41	Kundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber wie komme ich nach $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \|\frac{iRe^{it}}{R^3e^{3it}+Re^{it}+1} \|\, dt \end{eqnarray}$ denn weiter? Ich meine, $\begin{eqnarray} \|e^{it}\|=1 \end{eqnarray}$ ist schon klar, aber wie kann ich da irgendetwas so vereinfachen, dass ich das verwenden kann?
11.06.2017, 19:50	Kundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir jemand einen Ansatz geben, wie man hier weiterkommt? Ich danke euch
11.06.2017, 19:58	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \left\|\frac{iRe^{it}}{R^3e^{3it}+Re^{it}+1}\right\| = \frac{\|iRe^{it}\|}{\|R^3e^{3it}+Re^{it}+1\|} \leq \frac{\|iRe^{it}\|}{\|R^3e^{3it}\|-\|Re^{it}\|-\|1\|} \end{align}$ . Den Rest machst du selbst.
11.06.2017, 22:12	Kundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein letzter Bruch ist doch gleich $\begin{eqnarray} \frac{iR}{R^3-R-1} \end{eqnarray}$ . Der Limes für R gegen unendlich des Integrals ist dann 0.

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