Polynom in mehreren Variablen

11.06.2017, 23:06	fgw4tgrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in mehreren Variablen Meine Frage: Hallo, und zwar kann ich mir diese Formel nicht erklären. Ich möchte für einen Beweis ein Polynom f in n Variabeln darstellen. Der vor mir liegende Beweis verwendet die Darstellung: f(x)=f(P)+\sum\limits_{k=1}^{n} (x_i-a_i)g_i(x) wobei g_i auch ein Polynom in n Variablen ist Meine Ideen:* Es sieht dem Horner-Schema ähnlich, allerdings kenn ich dieses nur in einer Variablen. Als begründung wurde die Taylorentwicklung angegeben. Aber wo ist dann das Restglied?
12.06.2017, 00:22	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Für beliebige stetig differenzierbare Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kann man die Existenz solcher Funktionen $\begin{eqnarray} g_k \end{eqnarray}$ (die dann im Allgemeinen keine Polynome sein müssen) so zeigen: $\begin{eqnarray} \begin{aligned} f(x) &= f(a)+\int_0^1\! \frac{\partial (f(a+t(x-a))}{\partial t}\, dt \\ &= f(a)+\int_0^1 \! \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k}(a+t(x-a))\cdot (x_k-a_k)\, dt \\ &= f(a)+\sum_{k=1}^n (x_k-a_k)\cdot \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_k}(a+t(x-a))\, dt \end{aligned} \end{eqnarray}$ Dann definiert man $\begin{eqnarray} g_k(x):=\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_k}(a+t(x-a))\, dt \end{eqnarray}$ . ( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ muss hier auf einem konvexen Gebiet definiert sein, damit der Funktionswert für alle Punkte auf der Geraden $\begin{eqnarray} a+t(x-a), t\in[0,1] \end{eqnarray}$ existiert.) Du musst dir jetzt überlegen, warum die $\begin{eqnarray} g_k \end{eqnarray}$ Polynome sind, falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Polynom ist. Und dazu schreibst du $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als sein Taylorpolynom im Punkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Edit: Mir fällt gerade ein, dass es auch einfacher geht, nämlich direkt mit dem Taylorpolynom. Du klammerst aus allen Summanden, die den Faktor $\begin{eqnarray} (x_1-a_1) \end{eqnarray}$ enthalten, diesen Faktor aus. Was dann in der Klammer stehen bleibt, ist dein $\begin{eqnarray} g_1(x) \end{eqnarray}$ . Mit den restlichen Summanden machst du das gleiche, dieses mal mit dem Faktor $\begin{eqnarray} (x_2-a_2) \end{eqnarray}$ usw.
12.06.2017, 18:25	1234543	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich es direkt über das Taylorpolynom versuche, bekomme ich die oben beschriebene Formel raus, aber was ist mit dem Restglied? das passt nicht in die Summe hinein
12.06.2017, 18:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist doch ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , also ist das Taylorpolynom $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -ten Grades gleich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , das Restglied ist 0.

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