Dgl - System

12.06.2017, 19:39

Manuel7237

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Dgl - System

Folgende Dgl Gleichungen sind gegeben:

1: $\begin{eqnarray*} x_1'=x_1-3x_2 \end{eqnarray*}$
2: $\begin{eqnarray*} x_2'=-3x_1+3x_2 \end{eqnarray*}$

In Matrixschreibweise: $\begin{eqnarray*} \vec{x'} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\-3 &3 \end{pmatrix} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Dannn Eigenwerte berechnen:

$\begin{eqnarray*} P_A= (1-\lambda)(3-\lambda)-9= \lambda^2 -4 \lambda -6 \end{eqnarray*}$

Aber da kommen ungerade Werte raus?

Ist irgendwas falsch unglücklich

unglücklich

12.06.2017, 22:33

HAL 9000

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Stimmt, ein schlimmer Verstoß gegen das Gesetz zur Einfachheit von Übungsaufgaben:

Irrationale $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ -Eigenwerte, wie kann man nur! smile

smile

12.06.2017, 22:44

Manuel7237

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Wie kriege ich da was gutes hin?
Also wie bekomme ich meinen Eigenvektor ?

13.06.2017, 08:23

Manuel7237

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Ok habe nun folgende Lösung berechnet:
$\begin{eqnarray*} \vec{x_h}=c_1 ( \frac{-\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{({\sqrt{10}+2})t}+c_2 ( \frac{\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{(-{\sqrt{10}+2})t} \end{eqnarray*}$
Jetzt muss ich das Ergebnis überprüfen also Ableiten und dann in die Dgl einsetzen. Aber wie genau. Irgendwie klappt das nicht.

Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} c_1 ( \frac{-\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{({\sqrt{10}+2})t}+c_2 ( \frac{\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{(-{\sqrt{10}+2})t}=x' \end{eqnarray*}$
Die Ableitung würde da noch stehen. Kann das so sein? Hammer

Hammer

13.06.2017, 09:51

Manuel7237

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Ist meine Lösung wenigstens richtig? unglücklich

unglücklich

13.06.2017, 10:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Manuel7237
Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} c_1 ( \frac{-\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{({\sqrt{10}+2})t}+c_2 ( \frac{\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{(-{\sqrt{10}+2})t}=x' \end{eqnarray*}$

Da machen wir noch große Klammern dran:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \left( c_1 ( \frac{-\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{({\sqrt{10}+2})t}+c_2 ( \frac{\sqrt{10}+1}{3},1)^T e^{(-{\sqrt{10}+2})t} \right) = x' \end{eqnarray*}$

Bislang kann ich in deiner Lösung keinen Fehler finden. smile

smile

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13.06.2017, 10:32

Manuel7237

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Wie multipliziert ich das am einfachsten miteinander Hammer

Hammer

13.06.2017, 10:36

HAL 9000

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(zu langsam)

13.06.2017, 10:37

klarsoweit

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Nun ja, im wesentlichen ist das eine Matrix-Vektor-Multiplikation, also z.B.:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rest in dem Produkt sind Skalare.

13.06.2017, 11:00

Manuel7237

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Also dann erhalte ich für die 1. Komponente : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} (8-\sqrt{10}) \\ \sqrt{10}+4 \\ \end{pmatrix} c_1 e^{({\sqrt{10}+2})t} \end{eqnarray*}$

Auf der anderen Seite erhalte ich aber:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} (8-\sqrt{10}) \\ \sqrt{10}+2\\ \end{pmatrix} c_1 e^{({\sqrt{10}+2})t} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler?

13.06.2017, 11:17

klarsoweit

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Ich weiß ja nicht, was du rechnest. Bei mir sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{10}+1}{3} - 3 \\ \sqrt{10} - 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{10}-8}{3} \\ \sqrt{10} + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (\sqrt{10}+2) = \begin{pmatrix} \frac{-10 - \sqrt{10}+2}{3} \\ \sqrt{10}+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-8 - \sqrt{10}}{3} \\ \sqrt{10}+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.06.2017, 11:23

Manuel7237

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Vielen Dank erstmal

Wieso rechnest du beim unteren Teil * 2 + sqrt(10)?

13.06.2017, 11:30

Manuel7237

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Aso das ist die rechte Seite smile

smile

13.06.2017, 11:47

Manuel7237

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Bei der 2. Komponente stimmt noch etwas nicht Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}+1}{3} - 3 \\ -\sqrt{10} - 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}-8}{3} \\ -\sqrt{10} + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (-\sqrt{10}+2) = \begin{pmatrix} \frac{-10 - \sqrt{10}+2}{3} \\ -\sqrt{10}+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{10} +4 \\ -\sqrt{10}+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wo ist mein Fehler? Hammer

Hammer

13.06.2017, 12:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Manuel7237
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (-\sqrt{10}+2) = \begin{pmatrix} \frac{-10 - \sqrt{10}+2}{3} \\ -\sqrt{10}+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei mir ist das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{10}+1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (-\sqrt{10}+2) = \begin{pmatrix} \frac{-10 + \sqrt{10}+2}{3} \\ -\sqrt{10}+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.06.2017, 12:50

Manuel7237

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Vielen Dank Freude

Freude

Ich kann nicht rechnen unglücklich

unglücklich

Big Laugh

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