Minimalpolynom teilerfremd -> invertierbar

13.06.2017, 10:41	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom teilerfremd -> invertierbar Hallo ihr Lieben, folgende Aufgabe beschäftigt mich heute: Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus eines endlichen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -VR $\begin{eqnarray} V \neq \{ 0\} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} g\in K[x] \end{eqnarray}$ beliebig teilerfremd zu $\begin{eqnarray} m_{\alpha} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} m_{\alpha} \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom ist, dann ist $\begin{eqnarray} g(\alpha) \end{eqnarray}$ invertierbar. Lösung: Ich habe mal angefangen: Sei $\begin{eqnarray} g\in K[x] \end{eqnarray}$ beliebig teilerfremd zu $\begin{eqnarray} m_{\alpha} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Kein Eigenwert von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist Nullstelle von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , da sonst $\begin{eqnarray} g \| m_{\alpha} \end{eqnarray}$ Aber was folgt daraus jetzt? Ich bin mir sicher, dass ich darauf kommen muss, dass $\begin{eqnarray} g(\alpha) \end{eqnarray}$ kein Eigenwert besitzt der $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist und somit invertierbar ist, aber wie kann ich das folgern?

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