Vereinigung zweier zusammenhängender Mengen ist zusammenhängend

13.06.2017, 11:45	Tobias83	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung zweier zusammenhängender Mengen ist zusammenhängend Hallo zusammen ich habe folgende Aufgabe $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_2 \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Zusammenhängend und $\begin{eqnarray} M_1 \cap M_2 \neq \emptyset \Rightarrow M_1 \cup M_2 \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend. Eine Menge ist zusammenhängend wenn $\begin{eqnarray} \forall U,V \subset^{\circ} \mathbb{R}^n<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M \subset U \cup V, U \cap M \neq \emptyset<br /> \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} V \cap M \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} M \cap V \cap V \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ Meine Idee ist nun zuzeigen, dass $\begin{eqnarray} (M_1 \cup M_2) \cap V \cap V \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ Dies kann ich so umschreiben $\begin{eqnarray} (M_1 \cap V \cap V )\cup (M_2 \cap V \cap V) \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (M_1 \cap V \cap V )\neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (M_2 \cap V \cap V )\neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ gilt ja nach Voraussetzung (beide Mengen sind Zusammenhängend) Also gilt auch $\begin{eqnarray} (M_1 \cap V \cap V )\cup (M_2 \cap V \cap V) \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray}$ und somit ist die Vereinigung zusammenhängend. ISt dies so OK oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

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