Lagrange Multiplikator globale Extrema

13.06.2017, 14:15	mifimausi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Multiplikator globale Extrema Meine Frage: Hallo ihr Lieben, ich hab im Zuge eines Seminars auf der Uni folgende Aufgabenstellung bekommen: "Für welche x,y mit $\begin{eqnarray} x^{4} + y^{4} = 1 \end{eqnarray}$ nimmt $\begin{eqnarray} x^{9} + y^{9} \end{eqnarray}$ sein Maximum an?" Meine Ideen: Nun, ich habe das ganze mir mit der Lagrange-Funktion betrachtet und folgende Kandidaten für Extremstellen gefunden: ( $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ ),( $\begin{eqnarray} -\sqrt[4]{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} -\sqrt[4]{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ ),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) Da ich ja das Maximum will, muss ich diese Kandidaten nun noch "auswerten". Ich hab zuerst an die Hesse-Matrix gedacht, allerdings liefert die bei den letzten vier Kandidaten keine Aussage. Daraufhin bin ich zu meinen Professor, der meinte, ich soll mir die Tangentialebene anschauen und den Normalvektor darauf und so bestimmen ob Maximum oder Minimum. Ich hab davon noch nichts gehört und mir gedacht, dass google ich. (Der Professor hat nicht den Anschein gemacht, als würde er mir noch weiter helfen wollen. ) Naja, googeln hat nichts geholfen (zumindest hab ich nichts dazu gefunden) nun meine Frage an euch, habt ihr eine Idee, wie er sich das mit der Bestimmung der Extremwerte vorstellt? Liebe Grüße!
13.06.2017, 14:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine unkonventionelle, analysisfreie Lösung: Für reelle $\begin{align} x,y \end{align}$ folgt aus $\begin{align} x^4+y^4=1 \end{align}$ insbesondere $\begin{align} x^4\leq 1,y^4\leq 1 \end{align}$ und damit $\begin{align} \|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1 \end{align}$ . Es folgt $\begin{align} \|x^9+y^9\|\leq \|x\|^9+\|y\|^9 = x^4\cdot \|x\|^5 + y^4\cdot \|y\|^5\leq x^4+y^4 = 1 \end{align}$ . Gleichheit in letztem $\begin{align} \leq \end{align}$ kann nur angenommen werden für $\begin{align} \|x\|,\|y\|\in\{0,1\} \end{align}$ , damit kommen als Extremalstellen nur $\begin{align} x,y\in\{-1,0,1\} \end{align}$ in Frage. Bedingung $\begin{align} x^4+y^4=1 \end{align}$ bedeutet in dem Zusammenhang dann, dass genau einer der beiden Werte 0 ist, und der andere betragsmäßig gleich 1. Von den vier Restpaaren (-1,0), (0,-1), (1,0), (0,1) kommen nur die letzten beiden dann als Maximumstellen von $\begin{align} x^9+y^9 \end{align}$ in Frage, die anderen beiden sind entsprechend die Minimumstellen.
14.06.2017, 10:30	mifimausi_1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deinen Lösungsvorschlag! Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass ich die Aufgabe auf diese Art und Weise schon gelöst habe, tut mir leid. Aber vielen lieben Dank! Ich bin gestern übrigens noch drauf gekommen, dass ich nicht das globale Maximum sondern alle Maximums suche, also auch die lokalen. Weil das globale Maximum kann ich ja auch einfach finden, indem ich argumentiere, dass es auf einer kompakten Menge (hier meine Nebenbedinung) für eine stetige Funktion nur ein Maximum geben kann. und dann setzte ich alle kandidaten ein und merke, dass nur (0,1) und (1,0) den Maximalen Wert liefern.

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