Ableitung eines Integrals

13.06.2017, 14:22

Queiser

Ableitung eines Integrals

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich habe im Buch eine Lösung zu einer Aufgabe gefunden, wo gesagt wird, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \! t* f(t) \, dt \right) = x *f(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Es hieß zwar, dass der HS der Integralrechnung
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \! f(t) \, dt \right) = f(x) \end{eqnarray*}$
und die Produktregel
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left( a(x)*b(x) \right) = \left( \frac{d}{dx} a(x)\right)* b(x) + a(x)*\left(\frac{d}{dx}b(x)\right) \end{eqnarray*}$
zur Anwendung kommen, aber ich komme nicht auf diese Lösung.
Ich habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \! t* f(t) \, dt \right) = \frac{d}{dx} \left( t*F(x)-\int_{0}^{x} \! F(t) \, dt \right) = \frac{d}{dx} \left( t*F(x)\right) - \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \! F(t) \, dt \right) = t*f(x) -f(x) \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht, wo hier die Produktregel zum Einsatz kommen soll, da ja nie zwei Terme, die von x abhängen, im Produkt stehen.
Ich wäre über Hilfe erfreut.

Gruß Queiser

13.06.2017, 14:37

HAL 9000

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Na du siehst das aber kompliziert. Betrachte doch einfach eine Stammfunktion $\begin{align*} F(t) \end{align*}$ von $\begin{align*} t\cdot f(t) \end{align*}$ , d.h., eine Funktion mit der Eigenschaft $\begin{align*} F'(t)=t\cdot f(t) \end{align*}$ (du hast sicher noch was über $\begin{align*} f \end{align*}$ vorausgesetzt, mutmaßlich Stetigkeit - das sichert die Existenz einer solchen Stammfunktion). Laut HS gilt dann

$\begin{align*} \int\limits_0^x t\cdot f(t) ~ \dd t = F(x)-F(0) \end{align*}$ .

Und das leite jetzt nach $\begin{align*} x \end{align*}$ ab. Produktregel wird hier nicht benötigt.

13.06.2017, 15:08

Queiser

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Danke für die Antwort, HAL 9000. (Das Nummernschild kenn ich doch verwirrt

)

Ja, die Stetigkeit war gegeben, stimmt.
Na da hab ich offensichtlich noch ein Verständigungsproblem von Stammfunktionen.
Hilf mir trotzdem bitte nochmal auf die Sprünge.
Ich muss/kann mir also meine Stammfunktion so zurechtlegen, dass $\begin{eqnarray*} F`(t)=t*f(t) \end{eqnarray*}$ ist? In wie weit wäre dann Ableitung nach x gleich meinem $\begin{eqnarray*} x*f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Bzw. wie wird aus $\begin{eqnarray*} F`(t)=t*f(t) \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} F`(x)=x*f(x) \end{eqnarray*}$ ?

13.06.2017, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Queiser
Bzw. wie wird aus $\begin{eqnarray*} F`(t)=t*f(t) \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} F`(x)=x*f(x) \end{eqnarray*}$ ?

Indem man $\begin{align*} t=x \end{align*}$ einsetzt. smile

Die Stammfunktionseigenschaft $\begin{align*} F'(t)=t\cdot f(t) \end{align*}$ bezieht sich nicht auf irgend ein festes $\begin{align*} t \end{align*}$ , sondern auf alle $\begin{align*} t \end{align*}$ . Insbesondere eben auch auf $\begin{align*} t=x \end{align*}$ .

13.06.2017, 15:12

Queiser

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Hast Recht, ich hab es wirklich zu kompliziert gesehen. Hammer

Danke!!!!

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