R-linear? Welche Dimension haben Kern und Bild?

13.06.2017, 15:13	Arteze	Auf diesen Beitrag antworten »
R-linear? Welche Dimension haben Kern und Bild? Meine Frage: Hallo liebe Community, ich sitze zur Zeit für die Uni an einem Aufgaben-Blatt, das ich bis morgen abgeben muss (ja stimmt ich sollte demnächst wieder früher damit anfangen) Ich habe letzte Woche leider im Bett bleiben müssen, weil ich schwer erkrankt war und hänge jetzt eine wenig hinterher. Ich bräuchte einmal eine kurze Erklärung zu linearen Abbildungen Ich habe Abbildungen der folgenden Form f : R2 -> R3 (x,y) -> (0,y,0) und f: R2 -> R3 (x,y) -> (x+y, x+y, x+y) Wenn mir jemand kurz erläutern könnte, wie ich die Linearität, Kern und Bild bzw. die Dimensionen dieser nachweise, wäre mir wirklich sehr sehr doll geholfen, weil ich dann die anderen 4 Aufgaben mir daraus herleiten könnte. Meine Ideen: Ich konnte bisher durch recherchen rausfinden, dass die Linearität folgende Vorraussetzungen erfüllen muss f ist homogen f(ax) = af(x) f ist additiv f(x+y) = f(x) + f(y) Das Bild bzw. im(f) ist die Menge der Bildvektoren Der Kern bzw. ker(f) ist die Menge der Verkoren, die durch den Nullvektor abgebildet worden. Leider werde ich daraus nicht so richtig schlau wie ich das jetzt durchführe. Natürlich möchte ich nicht das ihr hier jetzt alle Aufgaben für mich löst, ich brauche lediglich eine kleine Hilfestellung bzw. ein kleines Beispiel an dem ich mich entlang hangeln kann. Liebe Grüße Moritz
13.06.2017, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle $\begin{eqnarray} (a,b),(c,d)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , und für alle $\begin{eqnarray} r\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f((a,b)+(c,d))=f(a+c,b+d)=(0,b+d,0)=(0,b,0)+(0,d,0)=f(a,b)+f(c,d)<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(r(a,b))=f(ra,rb)=(0,rb,0)=r(0,b,0)=rf(a,b) \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ linear. Dabei benutzt man * die Definition der Vektoraddition in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ * die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ * die Definition der Vektoraddition in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ * die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzw. * die Definition der skalaren Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ * die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ * die Definition der skalaren Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ * die Definition von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Genau so geht das für die Abbildungen g und h und j. Wenn es geht, sind sie linear, wenn nicht, dann nicht. Bei i musst du beachten, dass wegen der Homogenität der Nullvektor von einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ immer auf den Nullvektor abgebildet wird, denn $\begin{eqnarray} L(0\vec 0)=0L(\vec 0)=\vec 0 \end{eqnarray}$

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