Kegelschnitte-Hyperbel

13.06.2017, 16:39

mathemathe22

Kegelschnitte-Hyperbel

Meine Frage:
Für a,b > 0 und c := (cx,cy) e R2 bezeichnen wir Ha,b(c) :=((x,y) e R2 : ((x-cx)/a)² ?-((y-cy)/b)²= 1) als allgemeine Hyperbel mit 45Grad-Ausrichtung.

a) Beweisen Sie rechnerisch, dass H genau dann eine Hyperbel mit 45Grad-Ausrichtung ist, wenn es b > 0 und c e R2 gibt derart, dass H = Hb,b(c) gilt.
b) Skizzieren Sie Ha,b(c), indem Sie ausnutzen, dass mit lamda := b/a und c´ := (lamda*cx,cy) gilt Ha,b(c) =(x,y) e R2 : (lamda*x,y) ?Hb,b(c´).

Meine Ideen:
Bitte um Hilfen!!

13.06.2017, 16:54

HAL 9000

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Weil es dein erster Post ist, drücken wir mal eine Auge zu bei diesen grauenhaften Copy+Paste-Formeln. Das nächste Mal aber die Forenregeln hinsichtlich lesbarer Beiträge beachten.

Zitat:

Für $\begin{align*} a,b > 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} c := (c_x,c_y)\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ bezeichnen wir $\begin{align*} H_{a,b}(c) := \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:\; \left(\frac{x-c_x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-c_y}{b}\right)^2= 1 \right\} \end{align*}$ als allgemeine Hyperbel.

a) Beweisen Sie rechnerisch, dass $\begin{align*} H \end{align*}$ genau dann eine Hyperbel mit 45Grad-Ausrichtung ist, wenn es $\begin{align*} b > 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} c\in\mathbb{R}^2 \end{align*}$ gibt derart, dass $\begin{align*} H = H_{b,b}(c) \end{align*}$ gilt.
b) Skizzieren Sie $\begin{align*} H_{a,b}(c) \end{align*}$ , indem Sie ausnutzen, dass mit $\begin{align*} \lambda := \frac{b}{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} c' := (\lambda\cdot c_x,c_y) \end{align*}$ gilt $\begin{align*} H_{a,b}(c) = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:\; (\lambda\cdot x,y)\in H_{b,b}(c') \right\} \end{align*}$ .

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