grad f(0,0) bilden

13.06.2017, 16:27	maschbaustud	Auf diesen Beitrag antworten »
grad f(0,0) bilden Meine Frage: Hallo, Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Berechnen sie gradf(0,0). $\begin{eqnarray} f(x,y)= \frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für (x,y) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ (0,0) und 0 für (x,y) =(0,0) Meine Ideen: Wenn ich nun die partiellen Ableitungen der Funktion berechne erhalte ich ja folgenden Gradient: $\begin{eqnarray} gradf(x,y)= (\frac{y^2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}, \frac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}) \end{eqnarray}$ Wenn ich hier jetzt (0,0) einsetze bekäme ich ja einen Bruch bei dem ich durch 0 Teilen würde und das ist mein Problem. Als nächstes habe ich überlegt, ob die Lösung meiner Aufgabe 0 ist, da meine ursprüngliche Funktion ja für (x,y)=(0,0) als 0 definiert ist. Ich hoffe man kann meine Frage verstehen, da ich echt kein Mathematiker bin und die ganzen Fachausdrücke nicht wirklich beherrsche.
13.06.2017, 17:18	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: grad f(0,0) bilden Die ueblichen Ableitungsregeln gelten da, wo die Funktion in einer ganzen Umgebung durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist. Das ist im Nullpunkt nicht der Fall. Deine Rechnung gilt deshalb ueberall, aber eben nicht im Nullpunkt. Sie hilft Dir exakt gar nichts bei der Frage, ob $\begin{eqnarray} \nabla f(0,0) \end{eqnarray}$ existiert und wie der Wert eventuell ist. Um diese Frage zu klaeren, musst Du schon direkt mit der Definition der partiellen Ableitung arbeiten, also $\begin{eqnarray} f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\qquad\text{und}\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray}$ betrachten.

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