Komplexe Exponentialfunktion

13.06.2017, 22:35	asdfghi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Exponentialfunktion Die Definition ist: $\begin{eqnarray} \exp: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \exp(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Weiterhin ist: $\begin{eqnarray} \sin(x):= Im \exp(ix) \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist einfach, was das "i" in der Definition des Sinus soll. Wozu braucht man es, was soll es bedeuten? Das nur der Imaginäranteil eingesetzt werden kann? Aber Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ ist doch ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ .
13.06.2017, 22:47	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte erwähnen, dass diese Definition des Sinus nur für reelle $\begin{align} x \end{align}$ gültig ist. Bei dem $\begin{align} i \end{align}$ handelt es sich um die imaginäre Einheit. Die Frage, was das $\begin{align} i \end{align}$ in der Definition des Sinus soll ist irgendwie nicht besonders sinnvoll um ehrlich zu sein. Genauso könntest du fragen, was die obere Summengrenze $\begin{align} \infty \end{align}$ in der Definition der Exponentialfunktion soll, warum definiert man nicht einfach $\begin{align} \exp(z) := \sum_{k=0}^{102}\frac{z^k}{k!} \end{align}$ ? Die Antwort auf beide Fragen ist: Es fand halt jemand spannend, genau diese Funktion zu betrachten, wo in der Definition ein $\begin{align} i \end{align}$ auftaucht. Wie sich herausstellt, hat diese Funktion dann schöne Eigenschaften, so dass die Definition sinnvoll ist. Wenn man das $\begin{align} i \end{align}$ weglässt, erhält man eben eine andere Definition. Niemand verbietet einem, dieser auch einen Namen zu geben, aber derjenige, der sich die Definition ausgedacht hat, wollte nunmal diese Definition. Was gibt es über Definitionen zu argumentieren?
14.06.2017, 08:55	asdfghi1	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. ich kann einfach komplexe Zahlen einsetzen: $\begin{eqnarray} \exp((3+4i)i) \end{eqnarray}$ ? ich war mir halt nicht sicher, ob ich nur den Imaginärteil einsetzen darf.
14.06.2017, 09:00	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
In die Exponentialfunktion kannst du jede beliebige komplexe Zahl einsetzen, sie ist ja auf ganz $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ definiert. Das Ergebnis, was herauskommt, ist wieder eine komplexe Zahl und von dieser kannst du immer den Imaginärteil betrachten.
14.06.2017, 09:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{align} \operatorname{Im} \end{align}$ in $\begin{align} \operatorname{Im}(\exp(ix)) \end{align}$ bedeutet nicht, das man nur den Imaginärteil von Argument $\begin{align} x \end{align}$ einsetzt, sondern dass man vom komplexen Ergebnis $\begin{align} \exp(ix) \end{align}$ den Imaginärteil nimmt! Es sei aber nochmal der Hinweis von Clearly_wrong beachtet, dass $\begin{align} \operatorname{Im}(\exp(ix)) \end{align}$ nur für reelle $\begin{align} x \end{align}$ gleich $\begin{align} \sin(x) \end{align}$ ist, für echt komplexe $\begin{align} x \end{align}$ wie etwa dein $\begin{align} x=3+4i \end{align}$ stimmt das nicht. Für beliebige komplexe $\begin{align} z \end{align}$ muss man dann schon mit $\begin{align} \sin(z) = \frac{1}{i}\sinh(iz) = \frac{1}{2i}\left(\exp(iz)-\exp(-iz)\right) \end{align}$ operieren.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »