Stetigkeit - Seite 2

16.06.2017, 14:15

Mathe12346

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n)= \lim_{n \to \infty } f(r_n,\phi_n)= \lim_{n \to \infty } \sqrt{1-r_n^2} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie ich weiter machen soll?

16.06.2017, 14:23

klarsoweit

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Besser so:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n,y_n) = \lim_{n \to \infty } f(r_n \cdot cos(\phi_n), r_n \cdot sin(\phi_n)) = \lim_{n \to \infty } \sqrt{1-r_n^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt bilde den Grenzwert durch Einsetzen des Grenzwerts von r_n.

Inzwischen habe ich mir überlegt, daß man nicht unbedingt den Umweg über die Polarkoordinaten machen muß (siehe mein EDIT oben). Schaden tut es aber auch nicht. smile

16.06.2017, 14:32

Mathe12346

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Der Grenzwert wäre doch dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-r_0^2} \end{eqnarray*}$ .
Das verstehe ich noch nicht ganz, warum ich das für alle Folgen gezeigt habe?

16.06.2017, 14:39

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Zitat:

Original von Mathe12346
Der Grenzwert wäre doch dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-r_0^2} \end{eqnarray*}$ .

Ja, bzw. $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-r_0^2} = \sqrt{1-x_0^2-y_0^2} = f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ .

Und das gilt für alle Folgen, die gegen (x_0, y_0) konvergieren. Sonstige Einschränkungen bezüglich der Folgen haben wir ja nicht gemacht.

16.06.2017, 14:45

Mathe12356

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Gut danke. Aber warum gilt das für alle Folgen. Wieso kann man sagen dass x_n,y_n gegen x_0,y_0 gehen.
In welchen Fall würde sowas nicht funktionieren. Kann man irgendwas an der Aufgabe ändern, damit das nicht geht nur zum Verständnis. unglücklich

16.06.2017, 14:56

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Zitat:

Original von Mathe12356
Wieso kann man sagen dass x_n,y_n gegen x_0,y_0 gehen.

Das ist eben die Bedingung bei der Stetigkeit mittels Folgen. Man betrachtet da ausschließlich nur Folgen (x_n, y_n), die gegen den zu untersuchenden Punkt (x_0, y_0) konvergieren. (Andere Folgen sind uninteressant.)
Für die Folge (x_n, y_n) betrachtet man nun die Folge der zugehörigen Funktionswerte f(x_n, y_n). Wenn diese Folge gegen f(x_0, y_0) konvergiert, nennt man die Funktion f stetig.

16.06.2017, 15:00

Mathe12356

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Könnte man die Aufgabe so abändern, dass das nicht geht ?

16.06.2017, 15:05

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Nun ja, irgendwie kann man jede Funktion so abändern, daß sie unstetig wird. Insofern ja, man könnte die Aufgabe entsprechend abändern. Welche Erkenntnis man daraus gewinnt, ist eine andere Frage.

16.06.2017, 15:10

Mathe12356

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Ich wollte nur sehen, was dann passiert und inwiefern der Nachweis über Folgen nicht funktioniert.
Was meintest du mit den Bildern von x_n,y_n ?
Was machen die?

19.06.2017, 08:50

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Zitat:

Original von Mathe12356
Was meintest du mit den Bildern von x_n,y_n ?

Verstehe die Frage nicht. Bitte formuliere sie etwas ausführlicher.

19.06.2017, 11:56

Mathe12346

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Ich meine, was du in deinem Beitrag als Edit hinzugefügt hast smile

Zitat:

im Grunde geht es auch ohne Polarkoordinaten. Man muß ja "nur" schauen, was die Bilder f(x_n, y_n) einer konvergenten Folge (x_n, y_n) machen.

19.06.2017, 12:32

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Na ja, bei der Folgenstetigkeit muß man nun mal die Folge der Bilder f(x_n, y_n) untersuchen. Konvergiert diese gegen f(x_0, y_0) für alle gegen (x_0, y_0) konvergente Folgen (x_n, y_n), dann ist f stetig. Also muß man sich eben die Folge f(x_n, y_n) etwas näher anschauen. smile

19.06.2017, 14:54

Mathe12346

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Das haben wir ja für die 1. Aufgabe ja egtl so schon gezeigt.

19.06.2017, 15:03

klarsoweit

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Insofern ist die Sache ja auch erledigt. Augenzwinkern