Stetigkeit

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Mathe1235 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Meine Frage:
Bei Folgenden Funktionen muss ich entscheiden, ob diese stetig seien.
1. f= sqrt(1-x-y) wobei f: U nach R mit U= x^2 +y^2 <=1

2. g=x sin(1/y) für x,y ungleich 0 sonst 0

Meine Ideen:
Kann mir jmd ein paat Tipps geben, diese Aufgabe zu lösen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Bei Aufgabe 1 habe ich leichte Probleme mit der Definition, denn die Funktion ist beispielsweise in nicht definiert.

Bei Aufgabe 2 solltest du dir überlegen, wo denn die "Problempunkte" liegen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Bei Aufgabe 1 habe ich leichte Probleme mit der Definition, denn die Funktion ist beispielsweise in nicht definiert.

Da die Darstellung generell von einer gewissen Nachlässigkeit geprägt ist (z.B. soll es wohl eher heißen) würde mal tippen, dass in der f-Definition die Quadrate vergessen wurden, d.h., . Aber dazu muss sich Mathe1235 äußern, vorher kann es da nicht weitergehen.
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Wie HAL 9000 gesagt hat soll die Aufgabe lauten.
Der Problempunkt wird doch der Nullpunkt sein bei der Aufgabe mit dem sin(1/y)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12356
Sorry. Wie HAL 9000 gesagt hat soll die Aufgabe lauten.

OK. Und was ist nun deine Vermutung bezüglich der Stetigkeit?

Zitat:
Original von Mathe12356
Der Problempunkt wird doch der Nullpunkt sein bei der Aufgabe mit dem sin(1/y)?

Im Prinzip ja, aber wie sieht es generell aus mit Punkten auf der x-Achse?
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Da überall nicht weil y=0 ist oder?
Wie weise ich das nach
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12356
Da überall nicht weil y=0 ist oder?

Klares jein. Das x spielt da auch noch eine Rolle. Du solltest daher auch die Fälle x_0=0 und x_0 ungleich Null unterscheiden.

Zitat:
Original von Mathe12356
Wie weise ich das nach

Bei dem Nachweis der Unstetigkeit in einem Punkt (x_0, y_0) nimmt man gerne eine Folge (x_n, y_n), die gegen (x_0, y_0) konvergiert, wo aber die Folge f(x_n, y_n) nicht gegen f(x_0, y_0) konvergiert. Für die Punkte (x_0, 0) mit x_0 ungleich Null ist es nicht sonderlich schwer, eine derartige Folge zu konstruieren. smile
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile

Mit dem Folgenkriterium tue ich mich noch etwas schwer. Ich hätte vorgeschlagen x_n=1/n?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12356
Ich hätte vorgeschlagen x_n=1/n?

Das ist ein bißchen dürftig. Welchen Punkt willst du denn jetzt untersuchen? Entsprechend mußt du auch die Folge wählen. Denke auch daran, daß du dich im R² bewegst.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will x=0 untersuchen. Ich verstehe nicht welche Folge ich wählen soll verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346
Ich will x=0 untersuchen.

Du bist mental offensichtlich noch nicht im R² angekommen. wenn du einen Punkt untersuchen willst, muß der aus dem R² sein. Und solch ein Punkt besteht eben aus zwei Komponenten.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann (x_0,0)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Jetzt sollte noch explizit gesagt werden, daß x_0 ungleich Null ist. (Der Punkt (0, 0) muß separat untersucht werden.) Und dann nimm mal eine Folge (x_n, y_n), die gegen (x_0,0) konvergiert.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja z.b (1/n,0) oder
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge ist ganz nett, konvergiert aber nicht gegen (x_0, 0), sondern gegen (0, 0). Dieser Punkt kommt aber später dran.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge (x_n,0) dann einfach?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müßtest du aber sagen, daß x_n eine beliebige Folge mit Grenzwert x_0 ist. Das geht, ist aber nicht das, was ich haben wollte. Nun gut, es geht auch so.

Jetzt bildest du die Folge der Funktionswerte f(x_n, 0) . Wie sieht die aus und gegen was konvergiert sie?
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Also sei x eine beliebige Folge mit
dann gilt

Auf was wolltest du raus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte, daß du erst mal ein Gefühl für die Funktion entwickelst. Und natürlich auch für die Themen "Umgang mit Folgen", Stetigkeit und deren Zusammenhang.

Gerade an deinem letzten Post sieht man, daß du da einiges noch nicht verstanden hast. Zum Beispiel ist f(x_n, 0) nicht x_n*sin(0). Da solltest du mal in der Funktionsdefinition genauer nachschauen.

Bin jetzt mal für 2 Stunden weg und schaue später wieder rein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich möchte, daß du erst mal ein Gefühl für die Funktion entwickelst.

Genau das ist der springende Punkt. Deshalb betrachte mal als Funktion von einer Variablen, indem du die andere festhältst, d.h.

1) für festes .

Wie sieht diese Funktion aus? Erkennt man da irgendwelche Unstetigkeiten? Wenn nicht, dann lohnt es sich auch überhaupt nicht, solche Folge wie für irgendwelche Unstetigkeitsverdachte heranzuziehen - bringt nichts.

2) für festes , exemplarisch z.B. .

Selbe Fragen wie bei 1), diesmal natürlich bzgl. des hier variablen .
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Also für dein g(x) gibt es keine Unstetigkeitsstellen, denn der sin liefert einen bestimmten Wert und das Polynom ist stetig. Die Multiplikation von einem Polynom und einer festen Zahl ist wieder stetig.
2. Für h(y) gilt: Wähle die Folge mit

Weiter gilt dann:

Also unstetig in y=0.

Ist das mathematisch korrekt?
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jmd.bitte drüberschauen smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346
Weiter gilt dann:

Also unstetig in y=0.

Es wäre mir lieber, du würdest von f(x_0, y_n) reden, denn die Funktion f ist auf dem R² definiert. Außerdem solltest du (ich erwähnte es schon oben) feinfühlig eine Unterscheidung zwischen x_0 ungleich Null und x_0 = 0 machen.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal:
Für f(x_0,y_n) gilt mit x_0 ungleich 0 und mit gilt:


Daraus folgt Unstetigkeit in (x_0, 0)?

So besser?

Was mache ich dann genau bei(0,0)?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346
Daraus folgt Unstetigkeit in (x_0, 0)?

Im Zusammenhang mit , ja.

An sich bist du jetzt fertig, denn du wolltest ja nur nachweisen, dass unstetig ist - und dazu reicht eine einzige Unstetigkeitsstelle. Wenn du natürlich als Bonus alle Unstetigkeitsstellen ermitteln willst, musst du auch den Nullpunkt (0,0) untersuchen. Dort ist die Funktion aber stetig - warum?
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL9000. Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich das für (0,0) mache ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346


Da fehlt noch ein Limes vor dem f, also:

Zitat:
Original von Mathe12346
Was mache ich dann genau bei(0,0)?

Ich würden den Nachweis der Stetigkeit mittels Folgen machen, also zeigen, daß für jede Folge (x_n, y_n) diese Implikation gilt:

Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Problem. Wie funktioniert das genau. HAL hat gesagt, dass es geschickter ist Folgen für den Nachweis von Unstetigkeit verwenden sollte. Es reicht ja eine. Wie funktioniert das in dem Fall für alle verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach mal machen. Wenn ist, ist insbesondere . Das solltest du bei der Betrachtung von f(x_n, y_n) nutzen.
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gilt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346
Dann gilt

Nun ja, da gehören noch ein paar Schrittchen dazwischen. Zunächst ist bekanntlich f(0,0)= 0 . Also solltest du eine (gute) Begründung finden, warum ist. smile
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verständnis fehlt bei mir noch anscheinend.
Also x_n wird ja 0 wegen der Voraussetzung. Bei dem sin ist es ja dann egal?
Also 0.
Kannst du bitte vllt schreiben, wie es korrekt aussieht? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe12346
Das Verständnis fehlt bei mir noch anscheinend.

Da mußt du dringend dran arbeiten. Teilweise ist das Schulniveau.

Was den Beweis angeht, würde ich so vorgehen:

Es ist:

Da die rechte Seite gegen Null geht, konvergiert der Term dazwischen auch gegen Null (Sandwich-Lemma).

Wie man sieht: nur 2 Zeilen. smile
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfesmile
Ja ich muss das noch nacharbeiten. Ich bin noch neu in dem Thema. Tut mir leid für meine Langsamkeit unglücklich

Würde auch das Epsilon-Delta - Kriterium funktionieren?

Ich habe es bis jetzt nur im eindimensionalen eingesetzt, würde das auch mit 2 Variablen funktionieren?
Mathe12346 Auf diesen Beitrag antworten »

Also vllt so. Zu jedem sodass gilt:
Wähle
Also dann:
So richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das paßt. Freude

Zur Sicherheit / Vollständigkeit, daß niemand formale Lücken beanstandet, würde ich in der ersten Zeile so schreiben:

Es ist zu zeigen, daß sodass gilt:
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu Freude
Wenigstens etwas verstanden smile Aber natürlich dank dir smile
Ich habe ja noch eine Aufgabe mit der Kreisgleichung. Wie kann ich da vorgehen am besten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, bei handelt es sich eher um eine Funktion, die auf einem Kreis definiert ist.

Da kommt es darauf an, welche Stetigkeitseigenschaften verwendet werden dürfen. Im Grunde ist die Funktion f eine Kombination stetiger Funktionen und damit wieder stetig.
Mathe12356 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Kann man das noch anders zeigen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Idee wäre, mit Polarkoordinaten zu arbeiten: ist (x_n, y_n) eine Folge, die gegen (x_0, y_0) konvergiert, so gibt es dazu eine Folge (r_n, phi_n) mit
, wobei und ist.

Jetzt wäre zu prüfen, wogegen f(x_n, y_n) konvergiert.

EDIT: im Grunde geht es auch ohne Polarkoordinaten. Man muß ja "nur" schauen, was die Bilder f(x_n, y_n) einer konvergenten Folge (x_n, y_n) machen.
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