Genaue Bedeutung von dx (Dualvektor)

14.06.2017, 15:44

fragend

Genaue Bedeutung von dx (Dualvektor)

Guten Tag,

Es ist mir bekannt dass $\begin{eqnarray*} \dd x_i \end{eqnarray*}$ der kanonische Dualvektor zu $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ist, aber ist dieses d nur eine Schreibweise oder bedeutet es eigentlich auch Differential zu sein?

Auf der Basis ist die Defn einfach $\begin{eqnarray*} \dd x_i(x_j)=\delta _{ij} \end{eqnarray*}$ . Also ist es erstmal ein Dualvektor also eine Abbildung vom VR $\begin{eqnarray*} X \to\mathbb R \end{eqnarray*}$ (durch lineare Fortsetzung).

Was ich allerdings vom Wedge-Produkt kenne: Dort finden sich ja die $\begin{eqnarray*} \dd x_i\wedge\dd x_j\wedge... \end{eqnarray*}$ und für die Defn der äußeren Ableitung kommt folgender Ausdruck vor:
alpha=a dx
d(alpha) = d(a dx) = da ^ dx

Nun spätestens jetzt stellt sich mir die Frage: Kann man da mit dx verrechnen und was bedeuten diese nun genau?
da ist ja erstmal das Differential, aber dx habe ich oben ja schon beschrieben...

Irgendwie müssen da und dx ja von der selben Struktur sein, um sie miteinander zu verechnen. Was ist ihre "Gemeinsamkeit"?

Viele Grüße!

17.06.2017, 18:15

fragend

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Falls ich mich nicht verständlich genug ausdrückte, entschuldigung. Könnte dennoch versuchen mir jemand die Frage beantworten?

19.06.2017, 11:29

system-agent

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Du kannst tatsächlich das $\begin{eqnarray*} \dd x_i \end{eqnarray*}$ als die Anwendung der äusseren Ableitung $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ auf die Koordinatenfunktion $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ betrachten. Die Koordinatenfunktion ist nach Basiswahl definiert. Genauer: Sei $\begin{eqnarray*} e_1,\ldots,e_n \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann induziert diese Wahl die Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray*} x_i: X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , die jedem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ die i-te Koordinate $\begin{eqnarray*} x_i(p) \end{eqnarray*}$ in dieser Basis zuordnet. Was Du mit Deinem Beispiel mit der 1-Form $\begin{eqnarray*} \alpha\,\dd x \end{eqnarray*}$ genau meinst verstehe ich nicht.

19.06.2017, 17:10

fragend

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Ok danke, das heißt dx ist als äußere Ableitung einer Nullform (= reelle Funktion) eine 1-Form. Genauso ist da auch eine 1-Form und das Wedgeprodukt ist wohldefiniert.

20.06.2017, 08:30

system-agent

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Zitat:

Original von fragend
Ok danke, das heißt dx ist als äußere Ableitung einer Nullform (= reelle Funktion) eine 1-Form.

Ja.

Zitat:

Original von fragend
Genauso ist da auch eine 1-Form und das Wedgeprodukt ist wohldefiniert.

Was meinst Du mit "da"? Mit dem Wedgeprodukt kannst Du immer irgendwelche Differentialformen verknüpfen, dabei spielt es keine Rolle ob es eine 0-Form, 1-Form oder sonst eine Form ist.

20.06.2017, 21:12

fragend

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Danke für die Antwort. Mit "da" war dies aus meinem anfangspost gemeint.
Nun sollte für mich klar sein, es war noch nicht klar, dass das Differential ja selbst eine (spezielle) Differentialform ist (darstellbar über dx,dy,...).

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