"Quadratische" Fläche auf einer Kugel

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AchimF Auf diesen Beitrag antworten »
"Quadratische" Fläche auf einer Kugel
Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Ich würde gerne bei einer Kugel mit Radius r = 3,5 auf der Oberfläche ein "quadratisches" Flächenstück berechnen (die Fläche ist natürlich nicht quadratisch, da die Oberfläche ja gekrümmt ist). Von Ecke zu Ecke soll der direkte Weg jeweils 1 betragen (also nicht die Bogenlänge entlang der Kugeloberfläche)

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist nun folgendermaßen:
Die Fläche einer Vollkugel lässt sich mit diesem Doppelintegral berechnen, wobei und Polarkoordinaten sind.



Für ein ca 1x1 Flächenstück komme ich dann auf folgende Integrationsgrenzen:

;
Das Gleiche gilt dann auch für .

Wenn ich nun (d.h. in dem Fall WolframAlpha ;-)) das Integral berechne bekomme ich aber nur einen Wert von 0,148. Erwarten würde man aber einen von etwas größer als 1.



Wo liegt mein Fehler? Vielleicht muss man auch einen anderen Ansatz wählen

Viele Grüße Achim
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem hier ist, dass du dein "krummes" Flächenstück nicht genau genug beschreibst: Ok, die vier Eckpunkte bilden geradlinig verbunden ein Quadrat, welches unterhalb der Kugeloberfläche liegt, aber wie verbindest du die Punkte auf bzw. "entlang" der Oberfläche? Normalerweise in der sphärischen Geometrie entlang Großkreisabschnitten, aber in dem Fall ist das hier

Zitat:
Original von AchimF
Das Gleiche gilt dann auch für .

schlicht falsch: Dein Quadrat mit Großkreisstücken als Kanten ist kein Quadrat im -Koordinatensystem. unglücklich


EDIT: Zudem hast du dein Quadrat am Nordpol angesiedelt, deswegen der geringe Wert. Am Äquator wäre es auch falsch (s.o.), aber zumindest mit Fläche größer 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Zur tatsächlichen Flächenberechnung: Betrachten wir ein Quadrat der Seitenlänge mit . Das zugehörige "Kugelquadrat" können wir durch Einzeichnen der beiden Diagonalen in vier gleichschenklig rechtwinklige Kugeldreiecke zerlegen, die einander kongruent sind. Jedes einzelne dieser vier Dreiecke hat dann die sphärischen Seitenlängen (in Radiant)



Die Fläche dieses Kugeldreiecks ist , wobei wir über den Zusammenhang herausbekommen (siehe u.a. hier):

.

Damit bekommen wir die Quadratfläche , was man via Additionstheoremen noch in umwandeln kann.

Im vorliegenden Fall ist und , das ergibt Fläche .
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das Problem hier ist, dass du dein "krummes" Flächenstück nicht genau genug beschreibst: Ok, die vier Eckpunkte bilden geradlinig verbunden ein Quadrat, welches unterhalb der Kugeloberfläche liegt, aber wie verbindest du die Punkte auf bzw. "entlang" der Oberfläche? Normalerweise in der sphärischen Geometrie entlang Großkreisabschnitten

Wenn man die Fragestellung hier mit

Rechteckige Säule aus Kugel (Volumen/Oberfäche)

vergleicht, kann man vermuten, dass die Fragesteller trotz des kleinen Unterschieds im Namen identisch sind. Dann kann man auch vermuten, dass die Verbindung der Ecken des Quadrats nicht über einen Großkreis erfolgen soll, sondern über einen Kreis, der sich ergibt, wenn man sich das Quadrat als Stempel vorstellt, der in die Kugel gedrückt wird, bis die Ecken des Quadrats die Kugeloberfläche berühren.

Das macht eine analytische Lösung unhandlicher. Es sei die Seitenlänge des Quadrats und



Dann erhält man in kartesischen Koordinaten für die Oberfläche des Flächenstücks



mit



und bzw. den partiellen Ableitungen von nach bzw. . Man erhält



Die verbleibende Integration ist allerdings unhandlich. Bei variablem wirft mein Mathematica einen Ausdruck aus, von dem auf den ersten Blick nicht mal ersichtlich ist, ob er bei reellem reell ist. Bei konkreten Werten für wird der Ausdruck einfacher. Mit bekommt man:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mal noch die Verbindung ziehen von beiden Modellen zur Darstellung im -Koordinatensystem:

Wenn man das Quadrat senkrecht zu einem Äquatorradius positioniert, dann gilt in diesem Koordinatensystem interessanterweise folgendes:

1) In der Großkreis-Variante erfüllen die West- und Ostkante des sphärischen Quadrats jeweils die Bedingung , während die Nord- und Südkante vergleichbares für nicht erfüllen.

2) In Huggys "Stempelvariante" erfüllen hingegen die Nord- und Südkante jeweils die Bedingung , während hier dann wiederum für West- und Ostkante hinsichtlich nichts derartiges gilt.
Achim F Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000 und Huggy,

Vielen Dank für eure Hilfe :-). Mathe ist für mich halt schon verdammt lange her ;-)
Sorry, für meine unpräzise Ausdrucksweise; die Sache mit den Großkreisen habe ich nicht bedacht.
Huggy hat völlig recht mit der Stempelvorstellung, und ja ich bin der gleiche Fragesteller (der leicht veränderte Name kommt daher, dass der andere Name beim Gastzgang schon „verbrannt“ ist).

Ich schaue mir das mal in Ruhe an und komme der Lösung Stück für Stück näher ;-)

Gruß Achim
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