Bestätigung mittels vollständiger Induktion

15.06.2017, 10:40

Olamio

Bestätigung mittels vollständiger Induktion

Meine Frage:
Im beigefügten Bild sieht man zwei Gleichungen, welche durch die vollständige Induktion bestätigt werden sollen. Aufgabe b) ist ziemlich leicht, jedoch stellt a) ein kleines Problem für mich dar. Kann mir jemand den vollständigen Lösungsweg zeigen?

[attach]44669[/attach]

Meine Ideen:
Ich konnte bereits im Induktionsanfang "beweisen", dass die Gleichung für den Fall n=0 als auch n=1 funktioniert. (Also $\begin{eqnarray*} A(n_{0}) \end{eqnarray*}$ wurde bestätigt)

Dann folgerte ich: $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ ist richtig für eine(!!!) Zahl $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ , somit müsste also auch $\begin{eqnarray*} A(n + 1) \end{eqnarray*}$ funktionieren (Induktionsschritt). Weiter komme ich schon, ich vermute aber, dass es hier bei mir scheitert, da ich mir nicht sicher bin wie ich die Gleichung genau einzustellen habe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}*b^{(n+1)-k} = \frac{a^{(n+1)+1}-b^{(n+1)+1)} }{a-b} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}*b^{n-k} = \frac{a^{(n+1)+1}-b^{(n+1)+1)} }{a-b} \end{eqnarray*}$ ?

(Ich komme aber selbst bei beiden Gleichungen nicht weiter...)

15.06.2017, 11:01

IfindU

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Natürlich ersteres. Und wie immer den letzten Summanden abspalten, dann stimmt schon einmal das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Summe. Und dann kann man noch das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Exponenten von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} b^{n+1} = b \cdot b^n \end{eqnarray*}$ loswerden. Dann kann man fleißig Induktionsvoraussetzung einsetzen und vereinfachen.

15.06.2017, 11:03

SHigh

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RE: Bestätigung mittels vollständiger Induktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}*b^{(n+1)-k} = \frac{a^{(n+1)+1}-b^{(n+1)+1)} }{a-b} \end{eqnarray*}$

Genau das musst du zeigen. Nach IV gilt ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}a^{k}*b^{n-k} = \frac{a^{n+1}-b^{n+1} }{a-b} \end{eqnarray*}$

Fang doch mal so an:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}*b^{(n+1)-k} = b\cdot \sum_{k=0}^{n+1}a^k\cdot b^{n-k}. \end{eqnarray*}$

Jetzt muss du als nächstes:

1) das letzte Summenglied abspalten

2) IV anwenden

3) alles zusammenfassen und fertig.

15.06.2017, 14:06

Olamio

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RE: Bestätigung mittels vollständiger Induktion

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}a^{k}\cdot b^{n-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}-b^{n+1} }{a-b} \end{eqnarray*}$

Dann beiden Seiten mit b multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} b\cdot (\sum\limits_{k=0}^{n}a^{k}\cdot b^{n-k}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b})\cdot b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

Dann ( $\begin{eqnarray*} a^{n+1}\cdot b^{n+1-n+1} \end{eqnarray*}$ ) zu beiden Seiten dazuaddieren.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}}{a-b})+ a^{n+1}\cdot b^{n+1-n+1} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} b^{n+1-n+1} = b^1 = b \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}}{a-b}+a^{n+1}\cdot b \end{eqnarray*}$

Nun erweitert man $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}\cdot b}{1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{(a-b)}{(a-b)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}}{a-b})+\frac{(a^{n+1}\cdot b)\cdot(a-b)}{(a-b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}}{a-b}+\frac{a^{n+2}\cdot b - b^2\cdot a^{n+1}}{a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}a^{k}\cdot b^{(n+1)-k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}\cdot b - b^{n+2}+a^{n+2}\cdot b - b^2\cdot a^{n+1}}{a-b} \end{eqnarray*}$

Und weiter?
(Unser Ziel ist es ja die rechte Seite so aussehen zu lassen als wenn wir einfach nur das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen würden)

15.06.2017, 14:15

IfindU

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RE: Bestätigung mittels vollständiger Induktion
Es muss heißen $\begin{eqnarray*} b^{ (n+1) - (n+1) } = b^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . D.h. du musst $\begin{eqnarray*} a^{n+1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a^{n+1} b \end{eqnarray*}$ dazu addieren.

15.06.2017, 14:52

Olamio

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RE: Bestätigung mittels vollständiger Induktion
Stimmt, Dankeschön!
Ich habe es jetzt dank eurer Hilfe gelöst!
Vielen Dank!

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