L'Hospital und Taylorpolynom

15.06.2017, 11:00	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital und Taylorpolynom Meine Frage: Eigentlich habe ich eine Frage zum Taylorpolynom, baue aber noch eine Frage über L'Hospital ein, da ich hier grade am hängen bin. L'Hospital: Grenzwert berechnen von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} \frac {e^{-\frac 1 x}}{x^n} \end{eqnarray}$ Als Hinweis ist hier gegeben, wir sollen L'Hospital anwenden nach einer Substitution. Taylorpolynom: Wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=xe^x \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ b) Geben Sie an, wie im falle von Aufgabenteil a) das Restglied aussieht. (Sie müssen hierzu den Punkt $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ nicht extra bestimmen) c) Geben Sie mit Hilfe des Satzes von Taylor an, wie groß der Approximationsfehler $\begin{eqnarray} \|f(x)-T_{3,f}(x;0)\| \end{eqnarray}$ höchstens werden kann, wenn wir die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray} \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ betrachten. Meine Ideen: L'Hospital: Ich denke mal man wird hier irgend eine Substitution mittels $\begin{eqnarray} e^{ln(x)}=x=ln(e^x) \end{eqnarray}$ machen aber ich sehe noch nicht das genaue Ziel Ich würe es wenn dann irgendwie probieren mit $\begin{eqnarray} x^n = e^{n\cdot ln(x)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{-\frac 1 x} = \frac {1} {e^{\frac 1 x}} \end{eqnarray}$ was mich dann zu $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} \frac {1}{e^{n\cdot ln(x)+\frac 1 x }} \end{eqnarray}$ Aber eigentlich bringt mich doch das ganze mit dem Logarithmus gar nicht weiter oder? Der ist ja für 0 nicht definiert... Bzw. dürfte ich vorher zeigen das ich L'Hospital anwenden darf und dann substituieren und dann ableiten? Wobei ja auch beim Ableiten hier der Logarithmus nicht entfällt ? Fazit ich mach etwas Falsch Taylorpolynom: Das ist ganz frisch und ich habe ehrlich gesagt wenig Ahnung, was das ganze angeht. a) Was ich weiß, für das Taylorpolynom 3-ten Grades brauche ich auf jedenfall die 1-,2-,3te Ableitung also $\begin{eqnarray} f'(x) = xe^x \cdot e^x = (x+1)e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = (x+2)e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = (x+3)e^x \end{eqnarray}$ schöne Ableitungen übrigens Unser Entwicklungspunkt ist die 0 also ergibt sich $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(0) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(0)=3 \end{eqnarray}$ auch sehr schön^^ Jetzt $\begin{eqnarray} T_{3,0}(x) = \frac {f(0)}{0!}(x-0)^0 + \frac {f'(0)}{1!}(x-0)^1 + \frac {f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac {f'''(0)}{3!}(x-0)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0(x-0)^0 + 1(x-0)^1 + 1(x-0)^2+\frac {1}{2}(x-0)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =x + x^2+\frac {1}{2}x^3 \end{eqnarray}$ Stimmt das so? b) Das mache ich jetzt wohl über Lagrange oder? Also $\begin{eqnarray} R_{3,0}(x)=\frac {f^{(4)}(c)}{4!}\cdot x^4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c\in \left[0,x\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(4)}(x)=(x+4)e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_{3,0}(x)=\frac {(c+4)e^c}{4!}\cdot x^4 \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich aber überfragt da ich das weitere Prozedere noch nicht so verstanden habe... Wenn ich aber das jetzt gemacht habe, sollte die c) auch relativ daraus folgen oder?
15.06.2017, 14:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital und Taylorpolynom Zum Grenzwert: Substituiere $\begin{eqnarray} z := \frac 1 x \end{eqnarray}$ . Taylor: a) Stimmt. Offenbar ist $\begin{eqnarray} e^x = 1 + x + \frac {x^2} 2 + \dots \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} x e^x = x + x^2 + \frac { x^3}2 + \dots \end{eqnarray}$ . b) Stimmt, dein $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ist bloss das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ der Aufgabenstellung. c) Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray} f(x) = T_{3,f}(x; 0) + R_{3,0}(x) \end{eqnarray}$ . Damit ist offensichtlich was $\begin{eqnarray} f(x) - T_{3,f}(x,0) \end{eqnarray}$ ist. Es bleibt also das Restglied abschzuschätzen, wobei $\begin{eqnarray} x \in (0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \in (0,x) \end{eqnarray}$ ist.

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