Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

15.06.2017, 18:54

8A-Maria9

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Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Guten Abend zusammen,

im Anhang habe ich eine Aufgabe zum im Titel genannten Thema.

Ich habe angenommen, dass die Schrittweite für die Fünfpunkte-Formel $\begin{eqnarray*} h=0.5 \end{eqnarray*}$ ist. Wenn ich dann den Schritt $\begin{eqnarray*} +h \end{eqnarray*}$ gehe ich ja einen Funktionswert weiter.

Was mache ich aber jetzt bei $\begin{eqnarray*} +3h \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} +4h \end{eqnarray*}$ ? Da habe ich ja keine Werte, also würde ich annehmen, dass es null ist?

Also $\begin{eqnarray*} 16 \cdot f(x_0 + 3h) = -3 \cdot f(x_0 + 4h)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Also bezogen ist das auf die Fünfpunkte-Endpukt-Formel.

Die Fünfpunkte-Mittelpunkt-Formel kann ich ja auswerten:
$\begin{eqnarray*} f'(1)= \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (0-8 \cdot 0.4055 + 8 \cdot 0.9163-1.099) = 0.4979 \end{eqnarray*}$

Bei c) wüsste ich wie ich rechnen soll, bei b) auch nur ich weiß nicht wie ich auf das $\begin{eqnarray*} R_{1,1} \end{eqnarray*}$ komme?

Für jegliche Hilfe danke schon mal herzlich.

Grüße

Anamara

[attach]44676[/attach]

04.08.2017, 14:21

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Guten Tag,

ich habe vor einiger Zeit die Aufgabe gestellt. Ich habe mich jetzt anhand der Formel geschlängelt und soweit alles berechnet und wollte Euch um Eure Meinung fragen. Ist das soweit im "Groben" richtig? verwirrt

verwirrt

Ich habe noch eine Rückfrage und zwei Fragen zur Notation.

Die erste:
Wir haben ja die 5-Punkte-Mittelpunktformel sowie die 5-Punkte-Endpunktformel. Der Titel verrät ja eigentlich schon den Sinn und Zweck. Nur zur Sicherheit nochmal. Die 5-Punkte-Mittelpunktformel benutze ich nur um die Ableitungen der mittleren Punkte zu berechnen?

die zweite:
Und zwar betrifft es die Summe bei der Trapeznäherung des Romberg-Integrationschemas. Ich multipliziere das $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}\cdots \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ist es klar, da habe ich nur einen Summanden, somit multipliziere ich das einfach mit dem einem Summanden aus. Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} k = 3.... n \end{eqnarray*}$ habe. Muss ich doch das $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \end{eqnarray*}$ mit jedem Summanden ausmultiplizieren? Es fehlt doch dann insofern in der Definition (Startbeitrag, Definition) eine Klammer, oder? verwirrt

verwirrt

Also eine Klammer um die Summe $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}\left( \cdots \right) \end{eqnarray*}$ , damit es ganz korrekt ist, oder?

die dritte:
Bei dem $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ welches ja definiert ist als: $\begin{eqnarray*} h_{k} = \frac{b-a}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .
Da startet ja der Laufindex bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$
Bei der Berechnung des $\begin{eqnarray*} R_{2,1}=2 \end{eqnarray*}$ in Aufgabenteil b) multiplizieren wir die Summe, aber laut Formel mit $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ . Da habe ich jetzt die Ungewissheit ob es sich jetzt bei der Formel um einen Fehler handelt, oder einfach der Laufindex ab $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ in dem Falle gelte?

Würde mich unheimlich freuen wenn sich jemand findet der meine Problemchen verarzten könnte. Danke dafür schon im Voraus.

Grüße

Anamaria

[attach]45019[/attach]

04.08.2017, 17:55

xb

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Bei der ersten Aufgabe mit der Steigung muss man 0,4055 einsetzen
und bekommt dann a=0.4979
Einheiten wären auch nicht schlecht.Aber die fehlen wohl schon in der Frage

Bei der 5-Punkte-Mittelpunktformel kann man nur den mittleren Punkt berechnen.
Wegen x-2h und x+2h.Das geht ja nur mit dem mittleren Punkt

04.08.2017, 18:24

8A-Maria9

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Zitat:

Original von xb
Bei der ersten Aufgabe mit der Steigung muss man 0,4055 einsetzen
und bekommt dann a=0.4979
Einheiten wären auch nicht schlecht.Aber die fehlen wohl schon in der Frage

Bei der ersten Aufgabe die Steigung mit 0,4055? verwirrt

verwirrt

Wo denn genau, ich sehe irgendwie den Fehler nicht. Und ja die Einheiten wurden weggelassen.

Zitat:

Original von xb
Bei der 5-Punkte-Mittelpunktformel kann man nur den mittleren Punkt berechnen.
Wegen x-2h und x+2h.Das geht ja nur mit dem mittleren Punkt

Ja das stimmt.

Und bezüglich Frage zwei und drei, wie ist das zu verstehen?

Ich danke und grüße,

Anamaria

04.08.2017, 19:09

xb

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Ich sehe gerade,dass du im ersten post zunächst richtig gerechnet hast
$\begin{eqnarray*} f'(1)= \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (0-8 \cdot 0.4055 + 8 \cdot 0.9163-1.099) = 0.4979 \end{eqnarray*}$

und dann auf dem weißen Blatt unten im zweiten post wurde dann aus 0.4055 0.455
$\begin{eqnarray*} f'(1)= \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (0-8 \cdot 0.455 + 8 \cdot 0.9163-1.099) = 0.4319 \end{eqnarray*}$

04.08.2017, 19:27

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
und dann auf dem weißen Blatt unten im zweiten post wurde dann aus 0.4055 0.455
$\begin{eqnarray*} f'(1)= \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (0-8 \cdot 0.455 + 8 \cdot 0.9163-1.099) = 0.4319 \end{eqnarray*}$

Ahso

Hammer

Ja, das stimmt. Danke für den Tipp Freude

Freude

Zitat:

die zweite:
Und zwar betrifft es die Summe bei der Trapeznäherung des Romberg-Integrationschemas. Ich multipliziere das $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}\cdots \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ist es klar, da habe ich nur einen Summanden, somit multipliziere ich das einfach mit dem einem Summanden aus. Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} k = 3.... n \end{eqnarray*}$ habe. Muss ich doch das $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \end{eqnarray*}$ mit jedem Summanden ausmultiplizieren? Es fehlt doch dann insofern in der Definition (Startbeitrag, Definition) eine Klammer, oder? verwirrt

verwirrt

Also eine Klammer um die Summe $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}\left( \cdots \right) \end{eqnarray*}$ , damit es ganz korrekt ist, oder?

die dritte:
Bei dem $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ welches ja definiert ist als: $\begin{eqnarray*} h_{k} = \frac{b-a}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .
Da startet ja der Laufindex bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$
Bei der Berechnung des $\begin{eqnarray*} R_{2,1}=2 \end{eqnarray*}$ in Aufgabenteil b) multiplizieren wir die Summe, aber laut Formel mit $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ . Da habe ich jetzt die Ungewissheit ob es sich jetzt bei der Formel um einen Fehler handelt, oder einfach der Laufindex ab $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ in dem Falle gelte?

Hättest du noch dazu einen Ratschlag? Also bei der zweiten Frage muss eigentlich eine Klammer um die Summe herum. Und bei der dritten Fragen müsste der Index eig auch bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ anfangen, oder?

Danke für die Antwort,

Grüße

Anamaria

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04.08.2017, 21:42

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Ich habe die Zahlenwerte bei b und c auch
Es fehlt nur noch R3,3

$\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}\left( \cdots \right) \end{eqnarray*}$

Also eine Klammer braucht man da nicht
h wird mit jedem Summanden multipliziert.Das Summenzeichen ist praktisch die Klammer

$\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j)=h_{k-1} \cdot \left(\sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j)\right) \end{eqnarray*}$

Du hast da an einer Stelle geschrieben
$\begin{eqnarray*} R_{3,1}= \frac{1}{2} ( R_{2,1}+h_2\sum\limits_{j=1}^{2} v(a+h_3)+v(a+3h_3)) \end{eqnarray*}$
Was soll das sein?

Das müsste so aussehen
$\begin{eqnarray*} R_{3,1}= \frac{1}{2} ( R_{2,1}+h_2\sum\limits_{j=1}^{2} v(a+(2j-1)h_3)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 8A-Maria9

Bei dem $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ welches ja definiert ist als: $\begin{eqnarray*} h_{k} = \frac{b-a}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .
Da startet ja der Laufindex bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$

Das würde ich nicht sagen
Der startet mit k=1

04.08.2017, 23:43

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9

die dritte:
Bei dem $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ welches ja definiert ist als: $\begin{eqnarray*} h_{k} = \frac{b-a}{2^{k-1}} \end{eqnarray*}$ .
Da startet ja der Laufindex bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$
Bei der Berechnung des $\begin{eqnarray*} R_{2,1}=2 \end{eqnarray*}$ in Aufgabenteil b) multiplizieren wir die Summe, aber laut Formel mit $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ . Da habe ich jetzt die Ungewissheit ob es sich jetzt bei der Formel um einen Fehler handelt, oder einfach der Laufindex ab $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ in dem Falle gelte?

Also bei deiner Rechnung ist $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ kommt von $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \end{eqnarray*}$

05.08.2017, 10:29

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Das Summenzeichen ist praktisch die Klammer
$\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j)=h_{k-1} \cdot \left(\sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j)\right) \end{eqnarray*}$

Okay da war ich mir nämlich unsicher. Und wenn ich z.B. in der Summe einen Summanden habe wie: $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$

Also sowas:
$\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j) + f(a) \end{eqnarray*}$

Dann addiere ich das $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ nur einmal zur Gesamtsumme hinzu?

Zitat:

Original von xb
Du hast da an einer Stelle geschrieben
$\begin{eqnarray*} R_{3,1}= \frac{1}{2} ( R_{2,1}+h_2\sum\limits_{j=1}^{2} v(a+h_3)+v(a+3h_3)) \end{eqnarray*}$
Was soll das sein?

Naja ich wollte die Summe einmal, allgemein ausführen. Das ist dann falsch. Das Summieren hat dann ja schon stattgefunden, von daher, ja das ist definitiv nicht richtig, danke für den Hinweis Freude

Freude

Das Summenzeichen müsste an dieser Stelle dann weg.

Aber die Zeile darunter sprich das:
$\begin{eqnarray*} R_{3,1}= \frac{1}{2} ( 1,2426+ 1 \cdot (v(0,5)+v(1,5))) = 1,2822 \end{eqnarray*}$ ist doch richtig?

Zitat:

Original von xb
Also bei deiner Rechnung ist $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ kommt von $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \end{eqnarray*}$

Ja genau das $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ kommt von $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \end{eqnarray*}$ . Aber das $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ ist laut der Definition der Trapeznäherungen des Romberg-Integrationsschemas für $\begin{eqnarray*} k=2,3,...,n \end{eqnarray*}$ definiert. Siehe Startbeitrag. Wenn wir jetzt $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} R_{2,1} \end{eqnarray*}$ berechnen, wird ja vor der Summe mit $\begin{eqnarray*} h_{2-1} = h_1 \end{eqnarray*}$ multipliziert. D.h. das $\begin{eqnarray*} k=2,3,...,n \end{eqnarray*}$ bezieht sich nur auf die Summe.

Und das $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ läuft normal $\begin{eqnarray*} k=1,2,3,...,n \end{eqnarray*}$ .

Ich bedanke mich für die Unterstützung!

Grüße

Anamaria

05.08.2017, 10:48

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Und ja ich habe $\begin{eqnarray*} R_{3,3} \end{eqnarray*}$ unterschlagen. Also damit es komplett ist:

$\begin{eqnarray*} R_{3,3} = R_{3,2} + \frac{R_{3,2} - R_{2,2}}{4^{3-1}-1} = 1,2954 + \frac{1,2954 - 1.2905}{16-1} = 1,2957 \end{eqnarray*}$

Dann sollte jetzt soweit alles stimmen.

Grüße

Anamaria

PS: Ich habe noch eine kleine Teilaufgabe zu erledigen, bei der ich mir unsicher bin.

05.08.2017, 11:37

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Also sowas:
$\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j) + f(a) \end{eqnarray*}$

Dann addiere ich das $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ nur einmal zur Gesamtsumme hinzu?

Nein da wird nichts dazuaddiert

$\begin{eqnarray*} f(j)= f(a+(2j-1)h_k) \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} f(j)= f(b-(2j-1)h_k) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} R_{3,1}= \frac{1}{2} ( 1,2426+ 1 \cdot (v(0,5)+v(1,5))) = 1,2822 \end{eqnarray*}$ ist doch richtig?

Ja das ist richtig

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Und das $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ läuft normal $\begin{eqnarray*} k=1,2,3,...,n \end{eqnarray*}$ .

Also eher nicht
Die Rechnung mit der Summenformel beginnt mit k=2
Manchmal ist dein k ein n.Und dann hat das k eine andere Bedeutung und beginnt mit k=1

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} R_{3,3} = R_{3,2} + \frac{R_{3,2} - R_{2,2}}{4^{3-1}-1} = 1,2954 + \frac{1,2954 - 1.2905}{16-1} = 1,2957 \end{eqnarray*}$

Der Wert stimmt

05.08.2017, 12:26

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Nein da wird nichts dazuaddiert

$\begin{eqnarray*} f(j)= f(a+(2j-1)h_k) \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} f(j)= f(b-(2j-1)h_k) \end{eqnarray*}$

Da habe ich mich falsch ausgedrückt und wir haben uns missverstanden. Ich meinte jetzt allgemein. Nicht auf die Aufgabe bezogen. Wenn in der Summe ein Summand steht unabhängig von der Funktion und mit keinerlei Bezug zum Laufindex. z.B. $\begin{eqnarray*} h_{k-1} \cdot \sum_{j=1}^{2^{k-2}}f(j) + 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von xb
Also eher nicht
Die Rechnung mit der Summenformel beginnt mit k=2
Manchmal ist dein k ein n.Und dann hat das k eine andere Bedeutung und beginnt mit k=1

Ja das war ja das Problem, aber dazu ist ja keine Angabe gemacht im Skript und in der Aufgabe, oder habe ich da was übersehen wo es explizit steht bzw. wo man es annehmen kann? Das verlangt ja einfach die Formel, dass wir das $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ für unser $\begin{eqnarray*} h_k \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Ich habe noch einen Aufgabenteil d) der wie folgt lautet:
Geben Sie den Ort $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ an und schätzen Sie den relativen Fehler ab.

Ich muss also die Geschwindigkeit integrieren um den Ort zu bekommen, da ja die Ableitung des Ortes ja die Geschwindigkeit ist, soweit klar.

Das habe ich versucht mit der Trapezregel zu machen, anders geht es ja nicht?:

$\begin{eqnarray*} s_2 = \int v_2 d t \end{eqnarray*}$

Berücksichtigen muss ich dabei auch den Ort der zuvor zurückgelegt wurde, um ja den Ort zu dem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ zu haben.

$\begin{eqnarray*} s_2 = \int_0^2 v_2 d t =(2-0) \cdot \frac{v(0)+v(2)}{2} = 2 \cdot \frac{0+1,099}{2} = 1,099 \end{eqnarray*}$ das sollte doch stimmen?

Ich kenne den Fehler der Trapezregel der bei uns definiert ist mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$ .

Ist das jetzt der relative Fehler? Und wie berechne ich jetzt diesen? verwirrt

verwirrt

Grüße und herzlichen Dank,

Anamaria

05.08.2017, 13:21

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} s_2 = \int_0^2 v_2 d t =(2-0) \cdot \frac{v(0)+v(2)}{2} = 2 \cdot \frac{0+1,099}{2} = 1,099 \end{eqnarray*}$ das sollte doch stimmen?

R1,1=1.099
aber R3,3=1.2957. Dieser Wert ist doch die beste Nährung für die Fläche

Eine Fehlerrechnung macht aus meiner Sicht nur Sinn,wenn eine Funktion gegeben ist.
Aber du hast hier doch nur eine Wertetabelle ohne Funktion

05.08.2017, 14:10

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
R1,1=1.099
aber R3,3=1.2957. Dieser Wert ist doch die beste Nährung für die Fläche

Ja für die Geschwindigkeit?

Zitat:

Original von xb
Eine Fehlerrechnung macht aus meiner Sicht nur Sinn,wenn eine Funktion gegeben ist.
Aber du hast hier doch nur eine Wertetabelle ohne Funktion

Naja wenn es nicht gehen würde, dann hätte man doch diese Aufgabe nicht gestellt?

Zumal in einer ähnlichen Aufgabe auch die gleiche Frage gestellt wird, also sollte es durchaus gehen?

Danke und Grüße,

Anamaria

05.08.2017, 18:10

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9

R3,3=1.2957. Dieser Wert ist doch die beste Nährung für die Fläche

Ja für die Geschwindigkeit?

Nein für die Strecke

$\begin{eqnarray*} \Delta s=\int_{0}^{2} \! v \, dt \approx R_{3,3} \end{eqnarray*}$

Es muss aber klar sein,dass man aus einer Wertetabelle (ohne weitere Kenntnisse) keine Fläche ermitteln kann
(auch keine Steigung)

Die Werte in der Tabelle könnten auch zu einer Schwingung gehören

Deshalb ist diese Aufgabe eigentlich gar nicht lösbar

05.08.2017, 19:55

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Hallo.

Zitat:

Original von xb
Nein für die Strecke

$\begin{eqnarray*} \Delta s=\int_{0}^{2} \! v \, dt \approx R_{3,3} \end{eqnarray*}$

Aber die Integration liefert doch gar nicht diesen Wert verwirrt

verwirrt

?

Zitat:

Original von xb
Es muss aber klar sein,dass man aus einer Wertetabelle (ohne weitere Kenntnisse) keine Fläche ermitteln kann
(auch keine Steigung)

Keine Fläche ermitteln kann? Die Aussage verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von xb
Die Werte in der Tabelle könnten auch zu einer Schwingung gehören

Deshalb ist diese Aufgabe eigentlich gar nicht lösbar

Es ist keine Schwingung, da wir in der Tabelle das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ für velocity haben und ich weitere Aufgaben habe wo es gleich abläuft nur die Werte anders sind.

Daher muss die Aufgabe lösbar sein, ich finde jedoch nicht den Ansatz.

Wenn wir den Weg zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ haben, was ja der Fall ist, dann haben wir doch die zugehörige Fehlerformel mit der wir die Abweichung berechnen können?

Wir haben keine explizite Funktion wo wir die Grundfunkion f'' berechnen können, aber wir kennen doch den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} v=s' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = a \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=s'' \end{eqnarray*}$ und könnten doch darüber den Fehler an der Stelle berechnen? verwirrt

verwirrt

Ich danke erneut,

liebe Grüße

Anamaria

05.08.2017, 20:43

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} \Delta s=\int_{0}^{2} \! v \, dt \approx R_{3,3} \end{eqnarray*}$

Aber die Integration liefert doch gar nicht diesen Wert ?

Was haben wir denn die ganze Zeit gemacht?
Numerisch integriert
Oder was soll R3.3 sein?

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Keine Fläche ermitteln kann? Die Aussage verstehe ich nicht.

Du hast eine Wertetabelle.Du kennst die Werte der Geschwindigkeit an bestimmten Stellen
Aber was passiert dazwischen?
Woher weißt du das?

Und diese Fehlerrechnung
Wo wird danach gefragt?
Ich sehe das in der Aufgabe nicht

06.08.2017, 08:38

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Du hast eine Wertetabelle.Du kennst die Werte der Geschwindigkeit an bestimmten Stellen
Aber was passiert dazwischen?
Woher weißt du das?

Und diese Fehlerrechnung
Wo wird danach gefragt?
Ich sehe das in der Aufgabe nicht

Weil ich es zu Anfang nicht aufgeschrieben habe. Es ist aber die gleiche Aufgabe wie hier:[attach]45030[/attach]

Danke und

Grüße

Anamaria

06.08.2017, 11:03

xb

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Zitat:

Original von 8A-Maria9
Ich kenne den Fehler der Trapezregel der bei uns definiert ist mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht so
f wäre dann s

$\begin{eqnarray*} \frac{s''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$

s'' ist die Beschleunigung

Ein Wert von s'' wurde mit der Fünfpunkte Formel in der ersten Aufgabe berechnet
s''(1)=0.4979

das ist aber wahrscheinlich nicht die maximale Beschleunigung in dem Intervall

06.08.2017, 11:57

8a-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Vielleicht so
f wäre dann s

$\begin{eqnarray*} \frac{s''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$

s'' ist die Beschleunigung

Ein Wert von s'' wurde mit der Fünfpunkte Formel in der ersten Aufgabe berechnet
s''(1)=0.4979

das ist aber wahrscheinlich nicht die maximale Beschleunigung in dem Intervall

Ja das hatte ich versucht mit meinem Hinweis, siehe Zitat:

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Wir haben keine explizite Funktion wo wir die Grundfunkion f'' berechnen können, aber wir kennen doch den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} v=s' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = a \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=s'' \end{eqnarray*}$ und könnten doch darüber den Fehler an der Stelle berechnen?

daraufhin zu deuten.

Es ist nicht die maximale Beschleunigung, aber nach dieser wird ja konkret nicht gefragt, da ja $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$ sein kann.

Und gesucht ist ja nicht $\begin{eqnarray*} s''(1)=0.4979 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} s''(2) \end{eqnarray*}$ , da wir ja den Ort an der Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ wissen wollen und den zugehöriger relativen Fehler an dieser Stelle. D.h. den Wert muss man noch berechnen. Jedoch mit der Fünfpunkte-Endpunktformel, anders geht's nicht:
$\begin{eqnarray*} s''(2)=v'(2)= \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (-25 v(t_2) + 48 v(t_2-h)-36 v(t_2-2h) + 16 v(t_2 - 3h) - 3 v(t_2 -4h) = \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{12 \cdot 0.5} \cdot (-25 v(t_2) + 48 v(t_{1.5})-36 v(t_1) + 16 v(t_{0.5}) - 3 v(t_0) = \frac 16 \cdot (-25 \cdot 1.099 + 48 \cdot 0.9163 - 36 \cdot 0.6931 + 16 \cdot 0.4055 - 3 \cdot 0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -0.3260 \end{eqnarray*}$

Sofern ich mich nicht verrechnet habe verwirrt

verwirrt

?

$\begin{eqnarray*} \frac{-0.3260}{12} \cdot (2-0)^3 = -0.2173 \end{eqnarray*}$

Und wie viel beträgt jetzt der relative Fehler verwirrt

verwirrt

?

Danke und

Grüße

Anamaria

06.08.2017, 12:47

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8a-Maria9

Und gesucht ist ja nicht $\begin{eqnarray*} s''(1)=0.4979 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} s''(2) \end{eqnarray*}$

Das kann nicht sein.
Angenommen s´´(2)=0.Dann wäre der Fehler ja Null
Man braucht aus meiner Sicht die maximale Beschleunigung in dem Intervall.
Die scheint bei t=0 zu sein.Dann könnte man auch diese Randformel benutzen

Zitat:

Original von 8a-Maria9
$\begin{eqnarray*} = -0.3260 \end{eqnarray*}$
Sofern ich mich nicht verrechnet habe

Das ist mit Sicherheit falsch.Eine negative Beschleunigung bedeutet abbremsen
Das kann man an den Werten nicht erkennen
Einfach mal die Werte aus dem Diagramm aufzeichnen

06.08.2017, 13:00

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Das ist mit Sicherheit falsch.Eine negative Beschleunigung bedeutet abbremsen
Das kann man an den Werten nicht erkennen
Einfach mal die Werte aus dem Diagramm aufzeichnen

Dann weiß ich auch nicht weiter...

Vielleicht hat jemand anders eine Idee, wie die Aufgabenstellung gemeint ist?

Grüße

Anamaria

06.08.2017, 17:25

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8a-Maria9
$\begin{eqnarray*} = -0.3260 \end{eqnarray*}$
Sofern ich mich nicht verrechnet habe

Der Zahlenwert stimmt nur das Vorzeichen nicht
h wird bei rechten Wert negativ.Das muss man auch bei der Division durch h beachten
Das hast du selbst geschrieben

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Ich kenne den Fehler der Trapezregel der bei uns definiert ist mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$ .

Das kann nicht stimmen
Denn wo ist das h?Für h gegen Null geht der Fehler gegen Null

Das ist wohl richtig

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} {f''(c)} \end{eqnarray*}$ braucht man den maximalen Wert
der liegt in der Aufgabe bei t=0

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(0)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Zumindest würde ich das so rechnen

06.08.2017, 18:00

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Der Zahlenwert stimmt nur das Vorzeichen nicht
h wird bei rechten Wert negativ.Das muss man auch bei der Division durch h beachten
Das hast du selbst geschrieben

Ja der Wert muss positiv sein, also: 0,3260

Zitat:

Original von xb
Das kann nicht stimmen
Denn wo ist das h?Für h gegen Null geht der Fehler gegen Null

Das ist wohl richtig

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} {f''(c)} \end{eqnarray*}$ braucht man den maximalen Wert
der liegt in der Aufgabe bei t=0

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(0)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Zumindest würde ich das so rechnen

Verlangt denn die Aufgabe den maximalen Wert? Den maximalen Wert braucht man wenn man den maximalen Fehler berechnen will, aber das ist doch nicht gefragt verwirrt

verwirrt

?
Wir suchen doch aber den Fehler an gefragter Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ .

Ich kann die Definition hochladen, aber es ist keine andere als jene die ich ich erwähnt habe. Dort taucht auch keine Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ auf. Die Potenz hoch 3 fehlt noch bei $\begin{eqnarray*} (b-a)^{3} \end{eqnarray*}$ .

Danke und

Grüße

Anamaria

06.08.2017, 19:19

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Wir suchen doch aber den Fehler an gefragter Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ .

Das kann man so nicht sagen.Es geht hier doch um ein Intervall von 0 bis 2
und was wäre bei $\begin{eqnarray*} {f''(2)}=0 \end{eqnarray*}$ ?
dann wäre der Fehler 0 und das kann nicht sein

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Die Potenz hoch 3 fehlt noch bei $\begin{eqnarray*} (b-a)^{3} \end{eqnarray*}$ .

Die Formel ist so richtig
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} [a|b] \end{eqnarray*}$ .

bei a=0 und b=1000 könnte der Fehler extrem groß werden
was auch keinen Sinn macht

Du kannst mit den Fünfpunkte Formeln 3 Stellen berechnen
und dann nimmst du einfach den Wert mit dem größten Betrag

06.08.2017, 19:49

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Wir suchen doch aber den Fehler an gefragter Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ .

Das kann man so nicht sagen.Es geht hier doch um ein Intervall von 0 bis 2
und was wäre bei $\begin{eqnarray*} {f''(2)}=0 \end{eqnarray*}$ ?
dann wäre der Fehler 0 und das kann nicht sein

Ich haben doch gerade berechnet, dass die Stelle doch nicht 0 ist... sondern 0,326

Zitat:

Original von xb

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Die Potenz hoch 3 fehlt noch bei $\begin{eqnarray*} (b-a)^{3} \end{eqnarray*}$ .

Die Formel ist so richtig
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Nein, die Formel verwenden wir nicht. Wir reden aneinander vorbei traurig

traurig

[attach]45036[/attach]

06.08.2017, 20:09

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Diese Formel bezieht sich auf die Romberg Integration

Was du schreibst ist wieder etwas anderes

du hast nur eine Nährung zwischen a und b
und dann ist h=b-a
h^2=(b-a)^2
und dann haben wir
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$

aber das ist nicht das was wir die ganze Zeit gerechnet haben

06.08.2017, 20:17

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Ohje, was mach ich nur. Entschuldigung Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 = \frac{-0,326}{12} \cdot (2-0)\cdot (-0,5)^2 = -0,01358 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht mehr was man machen könnte, ich würde es echt gerne lösen, bin aber gerade ideenlos.

Grüße

Anamaria

06.08.2017, 20:56

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von 8A-Maria9
$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 = \frac{-0,326}{12} \cdot (2-0)\cdot (-0,5)^2 = -0,01358 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 = \frac{0,3260}{12} \cdot (2-0)\cdot (0,5)^2 = 0,01358 \end{eqnarray*}$

der relative Fehler müsste dann so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{0,01358 }{1.2957} \approx 0.01=1% \end{eqnarray*}$

oder eben $\begin{eqnarray*} {f''(0)}=0.9794 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0,0408 }{1.2957} \approx 0.031=3.1% \end{eqnarray*}$

Soweit ich das verstanden habe bezieht sich der Fehler nur auf die Romberg Nährung.
1.2957 sind aber schon die Richardson Extrapolation
Macht aber keinen allzu großen Unterschied

07.08.2017, 08:44

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Nochmal was zu diesem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} F=\frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)^3 \end{eqnarray*}$

Man sollte für jedes Teilintervall einen Fehler berechnen

Wir hatte in der Aufgabe 4 Teilintervalle

b-a ist dann h

Der Fehler wäre dann etwa

$\begin{eqnarray*} F=\frac{f''(0)}{12} \cdot h^3+\frac{f''(1)}{12} \cdot h^3 +\frac{f''(1)}{12} \cdot h^3+\frac{f''(2)}{12} \cdot h^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1) \end{eqnarray*}$ ist doppelt weil der Wert für das 2. unf 3. Intervall genommen wird

Alternativ könnte man auch das nehmen

$\begin{eqnarray*} F=\frac{f''(c)}{12} \cdot (b-a)\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

und einen Mittelwert bilden

$\begin{eqnarray*} f''(c)=\frac{f''(0)+f''(1)+f''(1)+f''(2)}{4} \end{eqnarray*}$

07.08.2017, 09:08

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration

Zitat:

Original von xb
Soweit ich das verstanden habe bezieht sich der Fehler nur auf die Romberg Nährung.
1.2957 sind aber schon die Richardson Extrapolation
Macht aber keinen allzu großen Unterschied

Ja der Fehler sollte sich auf die Romberg-Integration beziehen.

So wie ich das verstanden habe, ist es echt nur der Fehler bezogen auf die Stelle $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ . Auch wenn es nicht so sinnvoll und aussagekräftig ist, was vorher und nachher passiert ist wohl nicht von der Aufgabenstellung relevant.

Ich würde sagen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{0,01358}{0,2173}| = 0,0625 \approx 6 % \end{eqnarray*}$

Danke und

Grüße

Anamaria

07.08.2017, 10:17

xb

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Wir haben einen Fehler drin

Das ist der Ansatz
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx =(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2} -\frac{f''(c)}{12} (b-a)^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt v einsetzen

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! v(t) \, dx =(b-a)\frac{v(a)+v(b)}{2} -\frac{v''(c)}{12} (b-a)^3 \end{eqnarray*}$

Wir brauchen also $\begin{eqnarray*} v''(c) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} s''(c) \end{eqnarray*}$

Wie könnte man das bekommen?

$\begin{eqnarray*} v''(0.5)\approx\frac{v'(1)-v'(0)}{t_1-t_0} \end{eqnarray*}$

bzw

$\begin{eqnarray*} v''(1.5)\approx\frac{v'(2)-v'(1)}{t_2-t_1} \end{eqnarray*}$

07.08.2017, 11:06

8A-Maria9

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RE: Fünfpunkte-Formel und Romberg-Integration
Hallo,

öhm verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} s' = v \Rightarrow s = \int v \end{eqnarray*}$

Und die Änderung der Beschleunigung ist der sogenannte Ruck.
Da kann was nicht stimmen: $\begin{eqnarray*} {\displaystyle {\dot {\vec {a}}}(t)={\ddot {\vec {v}}}(t)={\overset {...}{\vec {x}}}(t)={\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}(t) \over \mathrm {d} t^{3}}} \end{eqnarray*}$

Wir müssen also eigentlich nur die Geschwindigkeit integrieren um den Ort $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, oder habe ich was übersehen?

Danke und

Grüße

Anamaria

07.08.2017, 11:23

xb

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So ich habe hier mal die Lösung
Jetzt dürfte alles klar sein

es gibt 3 Steigungen

$\begin{eqnarray*} v'(0)=0.9794 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(1)=0.4979 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(2)=0.3260 \end{eqnarray*}$

damit kann man jetzt 2 Werte von $\begin{eqnarray*} v''(c) \end{eqnarray*}$ berechnen

$\begin{eqnarray*} v''(c_1)=\frac{0.4979-0.9794}{1-0}=-0.4815 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v''(c_2)=\frac{0.3260-0.4979}{2-1}=-0.1719 \end{eqnarray*}$

Der Mittelwert ist wichtig

$\begin{eqnarray*} v''(c)=\frac{-0.4815-0.1719}{2}=-0.3267 \end{eqnarray*}$

und einsetzen

$\begin{eqnarray*} F=\frac{-0.3267}{12}\cdot 2\cdot (0.5)^2=-0.0136 \end{eqnarray*}$
Es ist Zufall,dass dieser Wert mit deinem Wert ähnlich ist

oder auch einfach so

$\begin{eqnarray*} F=\frac{v'(b)-v'(a)}{12}\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

Die Nährung wird so berechnet $\begin{eqnarray*} R_{3,1} -F=1,2822-(-0.0136)=1.2958 \end{eqnarray*}$

Der relative Fehler ist dann

$\begin{eqnarray*} f=\frac{-0.0136}{1.2958}=-0.01=-1% \end{eqnarray*}$

Also ist Romberg 1% zu klein

07.08.2017, 13:12

8A-Maria9

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Zitat:

Original von xb
$\begin{eqnarray*} v''(c_1)=\frac{0.4979-0.9794}{1-0}=-0.4815 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v''(c_2)=\frac{0.3260-0.4979}{2-1}=-0.1719 \end{eqnarray*}$

Der Mittelwert ist wichtig

$\begin{eqnarray*} v''(c)=\frac{-0.4815-0.1719}{2}=-0.3267 \end{eqnarray*}$

und einsetzen..

Müssen wir wirklich den Mittelwert bilden? Du hast es als wichtig bezeichnet?

Ich habe wenn ich ehrlich bin den Faden verloren. Wieso bildet man denn jetzt $\begin{eqnarray*} v'' \end{eqnarray*}$ ?

Ich schreibe nochmal alles ab und rechne es selber nach vielleicht wird es klarer verwirrt

verwirrt

Vielen Dank und

Grüße

Anamaria

07.08.2017, 15:41

xb

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Zitat:

Original von 8A-Maria9

Müssen wir wirklich den Mittelwert bilden?

Aus meiner Sicht ja.Aber ich weiß nicht wie ihr das rechnet

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Wieso bildet man denn jetzt $\begin{eqnarray*} v'' \end{eqnarray*}$ ?

Weil rechts in der Gleichung $\begin{eqnarray*} v'' \end{eqnarray*}$ steht

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! v(t) \, dx =(b-a)\frac{v(a)+v(b)}{2} -\frac{v''(c)}{12} (b-a)^3 \end{eqnarray*}$

08.08.2017, 19:34

8A-Maria9

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Zitat:

Original von xb
Aus meiner Sicht ja.Aber ich weiß nicht wie ihr das rechnet

Könnte man das denn nicht umgehen?

Danke und

Grüße

Anamaria

08.08.2017, 19:51

xb

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Zitat:

Original von 8A-Maria9
Könnte man das denn nicht umgehen?

Einfach so
$\begin{eqnarray*} v''(c) =\frac{v'(b)-v'(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

einsetzen
$\begin{eqnarray*} F=\frac{v'(b)-v'(a)}{12}\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

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