f(x)=x^n, Stetigkeit

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15.06.2017, 19:30	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x)=x^n, Stetigkeit Guten Abend zs, -Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \mathbb F=\{f_n, n\in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_n:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_n(x):=nx^2 \end{eqnarray}$ nicht gleichgradig stetig in $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist. -Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \mathbb F=\{ f_n:[0,1]\to \mathbb R, f_n(x):=x^n, n \in \mathbb N\} \end{eqnarray}$ beschränkt, jedoch nicht gleichgradig stetig auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ ist. Mein Ansatz: - $\begin{eqnarray} \lnot (\mathbb F \medspace gleichgradig \medspace Stetig \medspace in \medspace x_0) \quad \Leftrightarrow \quad \lnot ( \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall f \in \mathbb F : \|\|x-x_0\|\| < \delta \quad \Rightarrow \quad \|\| f(x) - f(x_0)\|\| < \epsilon ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\| x- x_0 \|\| = \|\| x-x_0\|\| = \|\|x\|\| < \delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\| f_n(x)- f_n (x_0) \|\| = \|\| x^n - 0^n\|\| = \|\| x \cdot ... \cdot x \|\| < n\cdot \delta = \epsilon \quad \Rightarrow \quad \delta = \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray}$ Delta kann nicht unabhängig von $\begin{eqnarray} f \in \mathbb F \end{eqnarray}$ gewählt werden. - $\begin{eqnarray} \lnot (\mathbb F \medspace gleichgradig \medspace Stetig \medspace auf \medspace [0,1]) \quad \Leftrightarrow \quad \lnot ( \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall f \in \mathbb F \medspace \forall (x,y) \in [0,1]^2 : \|\|x-y\|\| < \delta \quad \Rightarrow \quad \|\| f(x) - f(y)\|\| < \epsilon ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\| f_n(x) - f_n(y) \|\| = \|\| x^n - y^n \|\| \leq \|\| x - y \|\| < \delta = \epsilon \end{eqnarray}$ Für die Abschätzung habe ich verwendet, dass $\begin{eqnarray} x,y\in [0,1] \end{eqnarray}$ sind. Hier kann delta unabhängig von $\begin{eqnarray} f \in \mathbb F \end{eqnarray}$ gewählt werden, d.h. die Menge ist gleichgradig Stetig auf [0,1]. Ist die Aufgabe fehlerhaft? Zur Beschränktheit $\begin{eqnarray} \|\|f_n(x) \|\| = \|\| x^n\|\| \leq \|\| 1^n \|\| = 1 \end{eqnarray}$ , es existiert also ein C (z.B. 2), sodass $\begin{eqnarray} \forall f \in \mathbb F , \forall x \in [0,1]: \|\| f(x) \|\| < C \end{eqnarray}$ Sind die Aufgaben soweit korrekt gelöst? MfG
16.06.2017, 11:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x)=x^n, Stetigkeit Zu der ersten: Alles was die Rechnung zeigt ist, dass du kein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ findest. Noch kann es sein, dass jemand besonders clever ist und ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ findet. Zudem: Du verwendest die falsche Definition von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ . Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} \mathbb F \end{eqnarray}$ der zweiten Teilaufgabe gleichgradig stetig in der 0. Insbesondere zeigt das, dass "Du findest kein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ " nicht ausreichend ist um "Es gibt kein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ " zu folgern. Was besser ist. Es gilt $\begin{eqnarray} f_n(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Wenn die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb F \end{eqnarray}$ gleichgradig stetig in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist, so gilt für jede Nullfolge $\begin{eqnarray} x_n \to 0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f_n(x_n) \to 0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Wenn du also eine Nullfolge mit $\begin{eqnarray} f_n(x_n) \not\to 0 \end{eqnarray}$ findest, bist du fertig. Zur zweiten: Die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|x^n - y^n\| \leq \|x -y\| \end{eqnarray}$ ist einfach falsch.
17.06.2017, 11:02	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x)=x^n, Stetigkeit Danke für deine Antwort. Zur ersten Teilaufgabe: Wenn ich die Epsilon-Delta-Definition benutze, muss ich ja immer eine Abschätzung machen, um eine Bedingung für Delta zu erhalten. Und dann besteht ja die Möglichkeit, wie du bereits sagtest, dass jemand doch eine Abschätzung findet, sodass Delta unabhängig gewählt werden kann. Wie zeige ich, dass Delta nicht unabhängig gewählt werden kann (mit der Epsilon-Delta-Definition) klappt es ja anscheinend nicht. Mit dem richtigen Ansatz müsste sich die zweite Teilaufgabe ja analog lösen lassen. MfG
17.06.2017, 15:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f(x)=x^n, Stetigkeit Du mueestest die Definition nur richtig negieren. Nicht gleichgradig stetig in 0 heisst $\begin{eqnarray} \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists n, \exists x: \|x - 0\| < \delta \text{ und } \|f_n(x) - f_n(0)\| > \epsilon \end{eqnarray}$ . D.h. du musst ein Epsilon finden, so dass du ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nahe bei 0 findest, so dass f_n(x) weit von f_n(0) entfernt ist. Etwas weniger technisch funktioniert das mit den Folgen, was ich oben bereits angesprochen habe.
17.06.2017, 16:24	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel mit den Folgen in deinem vorherigen Beitrag habe ich auf dem Handy nicht gesehen ... Irgendwie komme ich nicht auf die passende Nullfolge. Sie kann ja nicht der Form $\begin{eqnarray} x_n = \frac{1}{n^m}, m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sein, weil $\begin{eqnarray} f_n (x_n) = n \cdot (\frac{1}{n^m})^2 = \frac{1}{n^{2m-1}} \end{eqnarray}$ für n gegen unendlich gegen Null geht. Und so viele andere Nullfolgen fallen mir nicht ein .... Die Aussage mit der negierten Definition zu beweisen, klappt auch nicht....
17.06.2017, 16:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie waere es mit $\begin{eqnarray} x_n = \frac 1 {n^y} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y > 0 \end{eqnarray}$ aber nicht zwingend natuerlich. Dann kann man sich ein Beispiel bauen.
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17.06.2017, 17:06	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, stimmt z.B. $\begin{eqnarray} x_n = \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} \quad \Rightarrow \quad f_n(x_n) = n \frac{1}{n} = 1, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Hmm, wie sollte ich am besten an die zweite Teilaufgabe rangehen. Die Beschränktheit habe ich ja korrekt bewiesen oder? Zur nicht Gleichgradig Stetigkeit fällt mir leider nichts ein..
17.06.2017, 17:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge ist nicht gleichgradig stetig, wenn ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ exisitert, wo sie nicht gleichgradig stetig ist. Wenn du dir ein paar der Funktionen aufmalst, sollte klar werden wo die Funktionen sich gut verhalten, und wo sie "auseinander gerissen werden". Hast du das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ heisst es wieder eine geschickte Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ zu konstruieren, diesmal mit Grenzwert $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ .
17.06.2017, 17:54	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Unstetigkeitsstelle liegt bei $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ Eine beliebige Folge gegen $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ könnte wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} x_n = \frac{1}{n^m}+1, m\in \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} f(x_n) =(\frac{1}{n^m}+1)^n \end{eqnarray}$ Hmm war das nicht im Grenzwert, für m=1, die e-Funktion?
17.06.2017, 18:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst noch $\begin{eqnarray} x_n\in [0,1] \end{eqnarray}$ beachten. Eine leichte Modifikation und es stimmt -- und der Grenzwert der neuen Folge wird nicht mehr $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ sein, aber verwandt.
17.06.2017, 20:45	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt $\begin{eqnarray} x_n \in [0,1] \end{eqnarray}$ , also müsste es $\begin{eqnarray} x_n = 1- \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ lauten. Damit erhält man: $\begin{eqnarray} f(x_n) = (1- \frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ geht gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Ich hätte nochmal eine Verständnis Frage $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{n}}= e \end{eqnarray}$ Diese Gleichheit kann man nicht beweisen, es handelt sich hier um eine Definition?
17.06.2017, 20:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_n := \left (1 + \frac 1 n\right)^n \end{eqnarray}$ monoton und beschraenkt ist. Insbesondere in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ konvergiert. Den Grenzwert kann man als eine Definition der Eulerschen Zahlen nehmen -- auch meines Wissens die historisch erste. Wenn man stattdessen als $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^\infty \frac 1 {k!} \end{eqnarray}$ definiert, so kann argumentieren, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ den gleichen Wert hat. Alles also eine Frage wie man $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ definiert.
17.06.2017, 20:54	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe!

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