Kovarianz und Korrelation

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noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz und Korrelation
Meine Frage:
Hallo Wink
Ich habe leider wegen Krankheit eine Vorlesung in Stochastik verpasst und weiß nun nicht so richtig etwas mit den Aufgaben anzufangen.
Ich wäre sehr glücklich, wenn jemand mir bei folgender Aufgabe ein wenig helfen könnte. smile

Ein fairer Würfel wird zweimal unabhängig voneinander geworfen, wobei die Augenzahl im
i-ten Wurf bezeichne und die Augensumme. Berechnen Sie

(a) die Kovarianz und die Korrelation zwischen und ,
(b) die beste Vorhersage der Augensumme Y, die eine affin lineare Funktion der ersten gewürfelten Augenzahl ist, und
(c) die beste Approximation der ersten Augenzahl , die eine affin lineare Funktion der Augensumme ist.

Meine Ideen:
Also zu (a) zuallererst einmal dachte ich, dass ich einfach versuche alles einzusetzen und umzuformen:



Ist das möglich? Damit wären X und Y ja unkorreliert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Rechnung auch einfacher gestalten: Die Kovarianz ist (bi-)linear, d.h., es ist

.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eben nochmal mein Skript angesehen, darin finde ich leider nichts zur Bilinearität. Worum handelt es sich da genau?

Und ich würde gern einen Einsatz zu Aufgabe (b) liefern, aber ich habe leider wirklich keine Ahnung, wie ich hierbei vorgehen soll. Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bilinear heißt linear in jedem Argument: D.h., es ist



,

letzteres folgt aus ersterem natürlich auch aus der Symmetrie . Der Nachweis ist ein Einzeiler, aber man muss ja nicht jedesmal das Rad neu erfinden. Wenn das in deinem Skript nicht steht, ist das ein echtes Versäumnis.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, darüber werde ich mich nochmal belesen! Gott
Gibt es vielleicht irgendwelche Hinweise zu (b)? unglücklich Ich weiß leider nicht, was hier von mir erwartet wird.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

(b) Gesucht ist die bedingte Erwartung , und das ist

.

Dabei wird zunächst die Linearität des Erwartungswerts genutzt, dann und schließlich für unabhängige .

wirst du ja ausrechnen können, damit hast du dann die Koeffizienten in der von dir gewünschten Darstellung berechnet.


Bei (c) bedient man sich am besten eines kleinen Tricks: Da symmetrisch bzgl. ist (d.h. es gibt eine Funktion mit ), gilt . Für die Summe der beiden gilt andererseits

,

was schließt man daraus?
 
 
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

.

Dabei wird zunächst die Linearität des Erwartungswerts genutzt, dann und schließlich für unabhängige .


Wow, welche Gesetze genau verwendest Du hier gerade? Ich erkenne diese gar nicht wieder. Hammer

Zitat:

wirst du ja ausrechnen können, damit hast du dann die Koeffizienten in der von dir gewünschten Darstellung berechnet.


Also wenn den zweiten Wurf bezeichnet, dann wäre der Erwartungswert doch ganz einfach nur , oder? Und damit stelle ich dann tatsächlich nur die Gleichung auf?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von noAhnung
Und damit stelle ich dann tatsächlich nur die Gleichung auf?

Nein, nur , d.h. und .

Wenn du die angewandten Regeln zur bedingten Erwartung nicht wiedererkennst, dann musst du dir jene wohl nochmal intensiver zu Gemüte führen.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah, ich meine, ich verstehe es!

Zitat:

,

was schließt man daraus?


Das heißt dann also, dass die lineare Funktion ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von ja. Wir suchen aber die entsprechende Darstellung von . Augenzwinkern
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke gerade hin und her, in welche Richtung ich mit Deinem Hinweis gehen soll. Am logischsten wäre das: Wenn gilt , dann müssen beide bedingten Erwartungswerte genau gleich sein. Also wäre für auf jeden Fall ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und d=0.
noAhnung Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich, das habe ich vergessen zu schreiben. smile Vielen, vielen Dank für die gute und schnelle Hilfe! Gott
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