Stochastische Dominanz 2. Ordnung

16.06.2017, 13:58

andreas398

Stochastische Dominanz 2. Ordnung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich dem überprüfen von (diskreten) Verteilungsfunktionen auf stochastische Dominanz zweiter Ordnung im Zusammenhang mit Finance (insbesondere Portfoliooptimierung). Hier wird ja unterschieden, ob man die "normale" oder die inverse Verteilungsfunktion gegeben hat. Für den inversen Fall gilt die Formel \int_{0}^{\alpha }\ \! F(x)^{-1} \, dx \leq \int_{0}^{\alpha }\ \! F(y)^{-1} \, dy , was bedeutet, ich integriere die Funktion abschnittsweise (im diskreten Fall).

Meine Ideen:
Beispiel:
p 0.4 0.2 0.1 0.3
x 0 2 3 3
y 1 1 1 4

Also muss ich diese beiden Funktionen F^(-1)(x) und F^(-1)(y) abschnittsweise integrieren. Beispielhaft für die funktion x: \int_{0}^{0.4} \! 0 \, dx und damit eine Steigung von 0 im Bereich 0 bis 0.4 (auf der x-Achse abgetragen, da inverse Verteilungsfunktion), \int_{0.4}^{0.6} \! 2 \, dx => Steigung von 2 im Bereich 0.4 bis 0.6 usw. Wenn nun eine dieser Funktionen immer über der anderen liegt, liegt stochastische Dominanz zweiter Ordnung vor. Das habe ich verstanden. Wo ich nun hänge ist der Fall bei einer normalen Verteilungsfunktion. Hier ist die Relation folgende: \int_{-\infty }^{q} \! F(x) \, dx \geq \int_{-\infty }^{q} \! F(y) \, dy mit q \in \mathbb R . Hier weiß ich genau was ich machen soll. Es soll wieder grafisch auf stochastische Dominanz zweiter Ordnung überprüft werden. Kann mir jemand helfen?

16.06.2017, 14:26

HAL 9000

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$\begin{align*} \int\limits_0^{\alpha} F^{-1}(x) ~ \dd x \leq \int\limits_0^{\alpha} F^{-1}(y) ~ \dd y \end{align*}$

kann als definierende Ungleichung nicht stimmen, da steht links wie rechts derselbe Wert (Namen der Integrationsvariablen sind Schall und Rauch...), außerdem fehlt der Bezug zu den unterschiedlichen Zufallsgrößen, es muss also mehr als nur die eine Verteilungsfunktion $\begin{align*} F \end{align*}$ eine Rolle spielen. unglücklich

Mal sehen, ob wir das geordnet bekommen - da ich "stochastische Dominanz zweiter Ordnung" noch nie gehört habe, kann ich nur mutmaßen: Du definierst für zwei reelle Zufallsgrößen $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ eine entsprechende Halbordnung $\begin{align*} X\preceq Y \end{align*}$ über die Eigenschaft

$\begin{align*} \int\limits_0^{\alpha} F_X^{-1}(t) ~ \dd t \leq \int\limits_0^{\alpha} F^{-1}_Y(t) ~ \dd t \end{align*}$

gültig für alle $\begin{align*} \alpha\in (0,1) \end{align*}$ - ist das so gemeint? verwirrt

Und das andere dann entsprechend

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty }^q F_X(t) ~ \dd t \geq \int\limits_{-\infty }^q F_Y(t) ~ \dd t \end{align*}$ für alle $\begin{align*} q \in \mathbb{R} \end{align*}$ .

Ich seh jetzt noch nicht so richtig den Zusammenhang zwischen beiden Definitionen, d.h., ob die wirklich äquivalent sind. Vermutlich spielt der für beliebige streng monoton wachsende Verteilungsfunktionen $\begin{align*} F \end{align*}$ geltende Zusammenhang

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^q F(t) ~ \dd t = qF(q) - \int\limits_0^{F(q)} F^{-1}(t) ~ \dd t \end{align*}$

da eine gewisse Rolle.

Zitat:

Original von andreas398
Beispiel:
p 0.4 0.2 0.1 0.3
x 0 2 3 3
y 1 1 1 4

Deinen Ausführungen kann ich leider nicht entnehmen, welche Verteilungen du mit dieser Tabelle kodierst. Offenkundig keine diskrete Verteilung mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten in den angegebenen Punkten, denn da macht eine Mehrfachangabe von x- bzw. y-Werten keinen Sinn. Was soll es dann bedeuten? verwirrt

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