Endlichkeit eines Integrals

16.06.2017, 18:20	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlichkeit eines Integrals Hallo zusammen, ich möchte folgendes zeigen: Sei $\begin{eqnarray} d\ge 3, \mu \end{eqnarray}$ ein positives endliches Borelmaß mit Kompaktem Träger $\begin{eqnarray} K\subset\mathbb{R}^d . \end{eqnarray}$ Zeige $\begin{eqnarray} \int_{B(0,R)} \int_{\mathbb{R}^d} \! \frac{1}{\| x-y \|^{d-2} } \, d\mu (y) \! \, dx <\infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} R>0. \end{eqnarray}$ Kann mir jemand helfen?
16.06.2017, 19:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze Fubini und die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \int_{B_R(y)} \frac 1 { \\|z\\|^{d-2}} dz \end{eqnarray}$ unabhaengig von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ beschraenkt ist. (Oder etwas schwaecher: lokal beschraenkt bleibt).
17.06.2017, 12:37	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist $\begin{eqnarray} \int_{B(y,R)} \! \frac{1}{\|z \|^{d-2}} \, dz \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ beschränkt?
17.06.2017, 15:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, weil $\begin{eqnarray} \int_{B(0,R')} \frac { 1 } {\\|z\\|^{d-2}} dz \end{eqnarray}$ beschraenkt ist fuer alle $\begin{eqnarray} R' > 0 \end{eqnarray}$ . Man kann mit Polarkoordinaten den exakten Wert angeben. Dann bleibt nur zu zeigen, dass das Integral durch eins der obigen Form beschraenkt ist. (Ich sehe gerade zwei Moeglichkeiten, mit einer Abschaetzung deutlich staerker als die andere, aber beide stark genug um die Aussage zu folgern).
18.06.2017, 20:43	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das so beginnen: $\begin{eqnarray} \int_{B_{(y,R)}}\! \frac{1}{\| z \|^{d-2} } \, dz= \int_{B_{(0,1)}}\! \frac{1}{\| Rz+y \|^{d-2} } \, dz = () \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} f(z):= \frac{1}{\| Rz+y \|^{d-2}} \end{eqnarray}$ , so gitl $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! r^{d-1} \int_{S^{d-1}} \! f(r\xi) \, d\sigma(\xi) \, dr = \int_{0}^{1} \! r^{d-1} \int_{S^{d-1}} \! \frac{1}{\| Rr\xi+y \|^{d-2}} \, d\sigma(\xi) \, dr \end{eqnarray}$ Ich komm nicht weiter
19.06.2017, 06:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte an die Holzhammer-Abschaetzung gegeben durch $\begin{eqnarray} B(y,R) \subset B(0, R + \|y\|) \end{eqnarray}$ oder die etwas subtilere durch $\begin{eqnarray} \int_{B(y,R)} \frac 1 { \|z\|^{d-2}} \leq \int_{B(0,R)} \frac 1 { \|z\|^{d-2}} \end{eqnarray}$ . Diese ist subtiler, weil es benutzt, dass der Integrand "monoton faellt".
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