Beschränktheit, Gleichgradig Stetig

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Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit, Gleichgradig Stetig
Guten Tag,

Seien eine stetige Funktion und definiert durch



Sei .

- Zeigen Sie, dass beschränkt ist.

-Zeigen Sie, dass gleichgradig stetig auf ist.


Die erste Teilaufgabe:

- beschränkt




Zweite Teilaufgabe:




k ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Quader , d.h. k ist gleichmässig stetig. Damit kann ich die obige Gleichung wie folgt abschätzen



Jetzt fehlt mir aber die Bedingung für . Normalerweise schätzt man den Ausdruck solange ab, bis
die Bedingung für delta erhält.

Ist die erste Teilaufgabe zu mindestens richtig gelöst?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit, Gleichgradig Stetig
Zitat:
Original von Silencium92
k ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Quader , d.h. k ist gleichmässig stetig. Damit kann ich die obige Gleichung wie folgt abschätzen



Hier bist du unsauber. Die Ungleichung gilt nicht fuer allel . Wenn du sauber argumentierst, gibt dir die gleichmaessige Stetigkeit von das .
Heisenberg93 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch folgendes:



Benutzte jetzt die gleichmäßige Stetigkeit von k
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Da war ich etwas voreilig mit der Abschätzung

]

An dieser Stelle verwende ich die gleichmäßige Stetigkeit von k. Bin mir aber unsicher, wie man das mathematisch sauber hinschreibt.

Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von k folgt die Existenz eines , sodass ich folgende Abschätzung treffen darf:





Kann man das so schreiben?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du vergisst was du eigentlich zeigen willst. Fuer jedes gibt es so dass aus folgt, dass . Also fixieren wir ein und suchen nun .

So. Nun ist gleichmaessig stetig. Damit existiert fur das ein mit .

Zeige nun, dass fuer alle folgt. dass , und du bist fertig.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu dieser Stelle war ja alles richtig



K stetig auf einem kompakten Quader

Daraus folgt:



Bei der letzten Abschätzung habe ich verwendet, dass ist.

So besser?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem speziellen Fall kann man das Epsilon, Delta fuer k und K gleich waehlen.

Ich denke du verstehst es besser wenn du gleichgradige Stetigkeit im Folgendnen Fall zeigst:

Seien eine gleichmaessig stetige Funktion und definiert durch


fuer 2 Parameter . Nun muessen andere fuer die beiden gewaehlt werden.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss noch eine weitere Teilaufaufgabe lösen, die sich mit deinem Vorschlag deckt.

Anhand vom Satz von Arzel`a–Ascoli , schliessen Sie daraus, dass K ein kompakter Operator auf dem Banach Raum ist.

z.z.

(1) K(C[0,1]) beschränkt

(2) K(C[0,1]) ist gleichgradig stetig auf [0,1]

Ist das korrekt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

(1) ist bereits nicht richtig.

Schlag lieber nach wie ihr einen kompakten Operator definiert habt.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche deine Aufgabe trz. mal zu lösen



Substitution:

k gleichmäßig Stetigkeit. Damit existiert für alle ein , sodass

Epsilon und Delta sind von Lambda abhängig.

Damit folgt:



Hmm jetzt weiß ich nicht genau, wie das mit dem Parameter L machen soll.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Kompaktheit:

Der Operator ist kompakt, wenn er jede beschränkte Teilmenge von E auf eine relativ kompakte Teilmenge von F abbildet.

Der Satz von Arzelà-Ascoli sagt jetzt, wenn K(C([0,1])) beschränkt und gleichgradig Stetig auf [0,1] ist , dann ist K(C([0,1])) relativ Kompakt. Nach obiger Definition wäre K dann ein Kompakter Operator.


Obwohl ich damit nur gezeigt hätte, dass K(C([0,1])) relativ Kompakt ist und nicht jede beschränkte Teilmenge in C([0,1]). Ich müsste als eine beliebige beschränkte Teilmenge nehmen oder kann man es trotzdem mit C([0,1] machen?

Ich hoffe, dass ich die nicht zu sehr mit meinen Fragen nerve.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mich falsch verstanden. Als ich sagte (1) ist falsch, meinte ich der Wahrheitsgehalt ist falsch, d.h. ist unbeschraenkt. Insbesondere kannst du nicht zeigen, es ist beschraenkt.

Nimm dir beschraenkt. Zeige, dass beschraenkt und gleichgradig stetig ist. Das kannst du analog zur ersten Rechnung machen oder -- wie es vermutlich gedacht ist -- dir ueberlegen, dass fur jeden Ball beschraenkt und gleichgradig integrierbar ist. Das reicht aus um die Aussage auf alle beschraenkten Teilmengen zu erweitern statt nur Baelle.

Zu "meiner" Aufgabe: Ich war etwas unvorsichtig mit der Integrationsgrenze. Insbesondere in hinblick auf das was ich oben geschrieben habe, waere es besser zu setzen, aber dafuer . Dann kann man das Integral wegschaetzen.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

" Deine " Aufgabe:



Jetzt kommt die Stelle die ich nicht ganz verstehe. Ich habe die gleichmäßige Stetigkeit von k benutzt um die Abschätzung zu machen. Den Ausdruck schätze ich nochmal ab



Wie sieht mein Delta jetzt für groß K aus ? Für L = 1 waren die Deltas von k,K gleich.


Aufgabe zum Kompakten Operator

Warum soll ich das mit dem Ball zeigen soll, habe ich nicht verstanden.

Sei beschränkt und beliebig. Wenn ich zeige, dass beschränkt ist und gleichgradig stetig ist, dann habe ich das doch automatisch für alle beschränkten Teilmengen gezeigt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis laueft in etwa so ab. Sei , finde . Das machen wir wie folgt: Sei und definiere . Die gleichm. Stetigkeit von gibt nun ein , so dass ...

Dann bestimmst du aus dem (in Abhaengigkeit von ) das , was wir wollen.

Zum zweiten: Ich wollte nur die vorige Teilaufgabe benutzen ohne alles noch einmal neu beweisen zu muessen. Wenn man weiss, dass:
, so kann man den letzten Teil als Einzieiler beweisen.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

-Handelt es sich bei dieser Äquivalenz um einen Satz? Falls ja, wie heißt dieser, denn mir ist noch nicht ganz klar, warum dies gelten soll.


-

Hieraus soll ich jetzt bestimmen



Das ist wahrscheinlich kompletter Mist, aber ich bin mir trotz deiner Anweisungen immer noch nicht sicher wie ich den Beweis korrekt aufschreibe und bestimme.....
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Den "Satz" kann man direkt mit Definition beweisen. Man zeigt, dass kompakt ist, wenn man weiss, dass kompakt ist. Falls ist also kompakt. Sonst sei also eine Folge in . Dann ist eine Folge in . D.h. es gibt eine Teilfolge, die einen Grenzwert besitzt. Dann konvergiert die gleiche Teilfolge von gegen .

Und fuer den anderen Beweis: Sei beliebig. Da gl. stetig ist, existiert ein mit . Wir definieren . Sei . Dann ist nach Multiplikation mit dann . Ausserdem ist und somit . Nach Definition von ist nun ,

Jetzt reicht es die Rechnung zu machen und nun sind die Abschaetzungen begruendet und wohldefiniert.
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Geduld und Hilfe!
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