Unendlichdimensionaler normierter Vektorraum

17.06.2017, 20:50	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlichdimensionaler normierter Vektorraum Hi, Es sei ein unendlichdimensionaler normierter Vektorraum $\begin{align} (V, \lVert \cdot \rVert) \end{align}$ über $\begin{align} \mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C} \} \end{align}$ gegeben. Ich würde in einem Beweis gerne eine Folge von Vektoren $\begin{align} (v_n)_{n \in \mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}} \end{align}$ mit den folgenden Eigenschaften verwenden: 1.) $\begin{align} \forall n \in \mathbb{N}: \lVert v_n \rVert = 1 \end{align}$ und 2.) $\begin{align} \forall n,m \in \mathbb{N} : \left[ n \neq m \Rightarrow \lVert v_n - v_m \rVert \geq \frac{1}{2} \right] \end{align}$ Gibt es so eine Folge? Die erste Bedingung ist nicht schwer zu erhalten, man nimmt einfach eine beliebige Folge und normiert dann. Gibt es einen Weg eine Folge mit beiden Eigenschaften zu konstruieren, oder zumindest ihre Existenz zu zeigen? (Statt $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ genügt auch ein beliebiger (fester) Skalar.) Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
17.06.2017, 21:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die Aussage vom Lemma von Riesz: Wikipedia. Dort ist auch eine Beweisskizze gegeben.
17.06.2017, 21:23	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, sehr schön. Danke dir!

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