Orthonormalbasis, Gleichung für Skalarprodukt

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Joly Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis, Gleichung für Skalarprodukt
Meine Frage:
Hallo allerseits,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei ein Skalarprodukt auf einem K-VR V und sei eine ON-Basis von V. Zeigen Sie:



Meine Ideen:
Ich habe bereits versucht, die davor in der Aufgabe bewiesene Aussage



für v und w einzusetzen.

Da kommt dann ja raus:




Das sieht ja schonmal gar nicht so schlecht aus. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich ab hier weitermachen könnte.

Hat jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank schonmal und einen schönen Sonntag noch!
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung stimmt nicht. Es müsste sein .

Wenn du das jetzt mal in einsetzt und so belässt, wie es ist, kommst du weiter.
Joly Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super, bin jetzt drauf gekommen! Vielen Dank!

Zwei Fragen hab ich aber noch:

Wo ist denn der Unterschied zwischen den zwei Versionen, also dass man es einmal mit mal-zeichen schreibt und einmal ohne? Auf unserem Aufgabenzettel steht es nämlich tatsächlich mit.

Und zweitens: Ich habe jetzt bei der Rechnung das Summenzeichen einfach aus dem Skalarprodukt rausgezogen, um den Term am Schluss so zu haben wie er sein soll. Allerdings ist mir nicht ganz klar, wieso ich das so machen darf bzw. welche Regel ich da verwende. Über eine kurze Erklärung würde ich mich freuen!

Vielen Dank nochmal für den super Tipp und einen schönen Tag noch!
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ich einmal das Mal-Zeichen mitgeschrieben habe und einmal nicht, war ein Versehen. Es ging eigentlich darum, dass die Argumente im Skalarprodukt anders herum stehen.

Ein Skalarprodukt ist linear in der ersten Komponente, insbesondere vertauscht es also mit Summen.
Joly Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, dann steht es falsch auf unserem Aufgabenzettel.

Woran liegt es, dass die Gleichung in der Reihenfolge falsch ist?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es stimmt halt einfach nicht. Wenn du mir deinen Beweis dieser Aussage zeigst, kann ich dir sicherlich auch den Fehler zeigen. Falls wir in einem reellen Vektorraum sind, ist die Reihenfolge egal, weil Skalarprodukte dort symmetrisch sind. Da du aber in der Behauptung komplex konjugiert hast, gehe ich von einem -Vektorraum aus und dort stimmt eben nicht . Da es so herum, wie ich es aufgeschrieben habe, richtig ist, kann es anders herum nur falsch sein Augenzwinkern

Aber wie gesagt, zeig mir gerne mal deinen Beweis dafür.
 
 
Joly Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben Sesqulinearformen als antilinear im ersten Argument (und linear im zweiten) definiert, könnte das der Grund sein für die verdrehten v, v_k?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Grund.

Also gegen den Strom schwimmen ist ja schön und gut, aber wenn man auf Zwang eine andere Definition benutzt, die keinerlei Vorteil hat, außer es anders zu machen, als alle anderen, ist nicht besonders sinnvoll in meinen Augen. Würde wirklich gerne wissen, was sich euer Professor dabei gedacht hat.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade mal nachgeschaut: In meiner LA-Vorlesung war eine Sesquilinearform linear im zweiten Argument, auch Wikipedia sieht das als übliche Definition.
Laut Siegfried Bosch (Lineare Algebra) und den ersten Google-Ergebnissen ist eine Sesquilinearform jedoch im ersten Argument linear.
Also würde ich nicht sagen, Joly es anders macht als ALLE anderen. Augenzwinkern

Aber gut, in meiner Vorlesung haben wir merkwürdigerweise auch mit Zeilenvektoren gearbeitet und bei linearen Abbildungen Matrizen von rechts an Vektoren multipliziert, weswegen man fast immer umdenken musste, wenn man sich andere Literatur dazu durchgelesen hat.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Dann war meine Aussage oben wohl klar_falsch Augenzwinkern

Ich war mir ziemlich sicher, dass Linearität im ersten Argument der Kanon sei.

Nehme alles zurück.

Edit: Habe zum Spaß meine Bücher auch nochmal durchgesehen: In 7 davon exklusive Bosch habe ich eine Definition von Skalarprodukten gefunden. Es wurde immer Linearität im ersten Argument gefordert. Das beruhigt mich jetzt schon ein wenig Big Laugh
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