Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable

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Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable
Hallo zusammen... smile

Nehmen wir an wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum, ;

Dabei besteht aus der Grundmenge, die Sigma-Algebra und das Wahrscheinlichkeitsmaß, definiert auf der Sigma-Algebra;

Nehmen wir als Beispiel eine Münze, dann ist , und die Sigma- Algebra ist einfach die Potenzmenge davon, also ; Wenn die Münze fair ist, können wir jedem das Wahrscheinlichkeitsmaß 0.5, 0.5, 1, 0 zuordnen (bzgl. der Elemente der sigma-algebra, der Reihe nach);

Nun ist eine Zufallsvariable definiert als eine messbare Funktion von eben dieser Sigma-Algebra auf eine andere Sigma-Algebra, nennen wir sie .
Definieren wir z.B. die Funktion f(x)=0, wenn x='Kopf' und f(x)=1, wenn x='Zahl', dann haben wir eine messbare Funktion auf die Sigma Algebra ;

Habe ich das alles soweit richtig verstanden? Nun sei gegeben eine Zufallsvariable; ;
Dann ist die Sigma Algebra erzeugt von der Zufallszahl gegeben durch ;
Damit meine ich die Sigma-Algebra, die von dem Ereignis "Zahl" erzeugt wird; Wegen der Definition einer Sigma-Algebra ist das aber bereits die ganze Sigma-Algebra selbst, d.h. eine Zufallszahl erzeugt bereits die komplette Sigma-Algebra;

Wenn wir aber als Beispiel einen Würfel genommen hätten und wir hier eine eins gewürfelt hätten, so hätten wir:

und damit wäre es eine Sub-Algebra der Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums;

Habe ich das richtig verstanden, soweit?

Falls ja, nun meine Fragen:

1. Bei einer Münze ist es offensichtlich, dass es eine Sigma-Algebra gibt für die Ereignisse und dann eine Funktion als Zufallsvariable, die je nach Ereignis eine Zahl zuordnet;
Aber wie wäre es z.b. bei einer Zufallsvariable, die nach einer Verteilung erzeugt wird? Nehmen wir z.B. die Poissonverteilung, dann ist ;
Wenn ich also eine Poissonverteilte Zufallsvariable erzeuge, kann ich das als Funktion f(x)=x sehen?

2. Kann mir jemand ein Beispiel für den stetigen Fall geben für all das was ich jetzt mit der Münze geschrieben habe? Ich weiß, da ist es nicht ganz so einfach und es geht um Borelmengen etc. aber ich verstehe es nicht ganz aber würde es wirklich gerne verstehen...
Also wie der Wahrscheinlichkeitsraum aussieht, wenn wir z.B. eine Gleichverteilung auf [0,1] haben und wie die von einer Zufallsvariablen erzeugten Sigma-Algebra aussehen würde.

Vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir nur vorgegeben ist, dass du eine Zufallsgröße einer gegebenen Verteilung (z.B. eben Gleichverteilung auf [0,1]) hast, dann kann die Frage höchstens sein, wie ein möglicher W-Raum dazu aussieht - NICHT, wie der W-Raum dazu aussieht. Da gibt es keine eindeutige Zuordnung. Der "kanonisch" dazu passende W-Raum ist mit Borel-Sigmaalgebra , dort ist dann einfach für alle .

Aber bereits wenn wir mehrere Zufallgrößen über demselben W-Raum betrachten, muss der i.a. größer sein, um das alles unterzukriegen.
 
 
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

vielen Dank, dass du dich meiner annimmst;

Also ich würde ganz einfach verstehen, das es bedeutet, dass eine sigma-algebra von einer Zufallsvariablen erzeugt wird; Ich verstehe nich einmal ob man dabei von einer Zufallsvariablen ausgeht, von der man den Wert kennt oder nicht; :-(
Also nehmen wir mein Beispiel mit dem Würfel und der Zufallsvariable x wie in meinem Beitrag (0 für Kopf, 1 für Zahl)
Wenn ich nun die von x erzeugte Sigma-Algebra angeben will, ist da dann gemeint, dass x praktisch eine realisation ist, d.h. ich weß, dass z.B. x=1 ist oder wird die Sigma-Algebra nur aufgrund der theoretischen funktion , (0 für Kopf, 1 für Zahl) berechnet?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Also ich würde ganz einfach verstehen, das es bedeutet, dass eine sigma-algebra von einer Zufallsvariablen erzeugt wird

Achso, das. Man muss dazu die Zufallsgröße komplett kennen, also als Funktion , nicht nur deren Verteilung. Die von erzeugte Sigma-Algebra ist dann das Mengensystem

.

Die für eine Zufallsgröße unabdingbar geltende Messbarkeit bzgl. impliziert dann .
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable
Okay, das heißt ich muss tatsächlich eine Realisierung gegeben haben, richtig? Dann stimmen aber diese Berechnungen, oder?


"Wegen der Definition einer Sigma-Algebra ist das aber bereits die ganze Sigma-Algebra selbst, d.h. eine Zufallszahl erzeugt bereits die komplette Sigma-Algebra;"

Auch das hier stimmt dann(mit Berichtigung des Rechtschreibfehlers):

"Wenn wir aber als Beispiel einen Würfel genommen hätten und wir hier eine eins gewürfelt hätten, so hätten wir:

"

Wenn wir dann z.B. im Würfelspiel die Realisierungen 1, 1 haben, dann ist die erzeugte sigma-Algebra dann immer noch:



und bei den Reaslisierungen:

1,2:



Stimmt das soweit?

Nun zu der Definition: "Die für eine Zufallsgröße unabdingbar geltende Messbarkeit bzgl. impliziert...." Welches meinst du? Ich sehe keins in der Definition;

Aber die Definition kenne ich, das Problem ist nur, dass ich sie nicht verstehe; traurig

Nehmen wir mal an wir haben eine stetige gleichverteilung auf [0,1]; Du hast gesagt, dann wäre der Wahrscheinlichkeitsraum gegeben durch:

, (Die Menge aller Borel Mengen in den reellen Zahlen) und als Wahrscheinlichkeitsmaß;

Könnten wir nun auch nehmen, Als Sigma Algebra alle Borelmengen auf dem Intervall [0,1] und als Wahrscheinlichkeitsmaß einfach das Lebesgue-Maß?

Und nun zu der Sigma-Algebra die von einer Realisierung erzeugt wird; Nehmen wir an wir haben x=0.573 (ich weiß, dass theoretisch die Reaslisierung fast sicher keine rationale Zahl wäre, aber das ist ja jetzt nicht wichtig)

Wie würde dann die sigma-algebra erzeugt von x aussehen bzw. wie könnte sie aussehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Okay, das heißt ich muss tatsächlich eine Realisierung gegeben haben, richtig?

Nein, nicht nur eine Realisierung, sondern alle Realisierungen! Die gesamte Funktion eben.

Am Beispiel des Würfelns: Wenn X die gewürfelte Augenzahl ist, dann reicht es nicht, einen Wurf (z.B. mit Augenzahl 1 wie bei dir oben) zu kennen, um die von X erzeugte Sigma-Algebra zu bilden - man muss alle sechs möglichen Augenzahlen da betrachten (Ok, es reichen auch fünf, weil sich das Urbild der sechsten dann per Differenzbildung ergibt).

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Welches meinst du? Ich sehe keins in der Definition

Das aus dem zugrunde liegenden W-Raum .

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Könnten wir nun auch nehmen, Als Sigma Algebra alle Borelmengen auf dem Intervall [0,1] und als Wahrscheinlichkeitsmaß einfach das Lebesgue-Maß?

Ja, geht in dem Fall auch: Da das W-Maß auf dem Intervall [0,1] konzentriert ist, kann man auch gleich die Grundmenge auf dieses Intervall zurückstutzen, macht prinzipiell keinen Unterschied.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuche am besten mal zu schreiben, worauf ich raus möchte;

Ich möchte gerne diese Definition voll verstehen: Gegeben sei ein stochastischer Prozess ;
Wir bezeichnen mit die sigma Algebra, erzeugt von , wobei


,

wobei und ; Hier hägen die beiden Sigma-Algebras von dem stochastischen Prozess ab, z.B. könnte es sein, dass
und und

Ich versuche es an einem ganz einfachen Beispiel zu verstehen, z.B. sei und ; Also jeweils nur von einer Zufallsvariablen definiert; Wie mache ich nun weiter?

Also wenn wir jetzt eine ganz einfache Verteilung der Zufallsvariablen annehmen etc. ?
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe mich weiter in das Thema eingelesen und ich denke, ich weiß jetzt mehr; Kannst du dir vielleicht die Mühe machen, dass du mir zu allen Punkten sagst, ob ich richtig liege?
Damit du es leichter hast, benutze ich Auszählungszeichen;

1. Wie du gesagt hast, geht es um die gesamte Funktion und nicht nur um die einzelne Reaslisierung;
Nun versuche ich das an einem Beispiel deutlich zu machen:
Gegeben sei ein Würfel mit und und das Wahrscheinlichkeitsmaß, das jeder Zahl die Wahrscheinlichkeit 1/6 zuweist;
Nehmen wir zuerst die Zufallsvariable: ;
Wenn ich also eine 6 würfle, dann ist X=6 usw.;
Dann kann X alle natürlichen Zahlen von 1 bis 6 annehmen, dementsprechend gillt für die von X erzeugte Sigma-Algebra:

, d.h. die Funktion erzeugt bereits die komplette Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums;

Nehmen wir nun eine zweite Zufallsvariable: , wobei dies die Indikatorfunktion darstellt;

Dann haben wir:

Ebenso

;

Also ist die Sigma-Algebra, die von X erzeugt wird gegeben durch


Stimmt das nun?

2. Zur Definition der von X erzeugten Sigma-Algebra: Du schreibst die allgemeine Definition;
.
Nehmen wir dann die gerade eben benutze Zufallsvariable, so wäre die "inverse Funktion" für 1 und 0 so definiert wie ich sie gerade definiert habe, für {1,0} wäre der Funktionswer der Inversen dann einfach {1,2,3,4,5,6} und für alle anderen Borelmengen wäre der Funktionswert der Inversen dann einfach die leere Menge;
Damit bekommen wir wieder die von X erzeugte Sigma-Algebra:

; Da alle Zufallsvariablen in die reellen Zahlen abbilden können wir also immer die Borelmengen als Definition nehmen;
Habe ich das soweit auch richtig verstanden?


3. Nun versuchen wir etwas schwierigeres, wobei ich mir hier wieder sehr unsicher werde;
Gegeben sei das zweimalige Würfeln eines Würfels; Bezeichne die Auganzahl beim ersten Wurf ist, die Augenzahl beim zweiten Wurf und definiere ;
Dann ist die Grundmenge gegeben durch ; Nun will ich die Sigma Algebra, die von x erzeugt wird; Wir haben
;
;
;
usw.

Und die von x erzeuge Sigma-Algebra ist gegeben durch

Hier bin ich mir extrem unsicher und freue mich über Kommentare ob das so stimmt;


4. Nun mal was Stetiges: Gegeben sei die steitge Gleichverteilung auf [0,1] und die Zufallsvariable ; Nun nehmen wir an wir wählen als die Borel-sigma-algebra; Dann ist das Bild von X auch auf der Borel-sigma-algebra definiert und da die Inverse nur die Identität ist, ist die von X erzeugte Zufallsvariable die Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums. Auch wenn wir als Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums die Borel-Sigma-Algebra reduziert auf das Intervall [0,1] nehmen, erzeugt die Zufallsvariable wieder die ursprüngliche Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums, also die Borel-Sigma-Algebra reduziert auf [0,1]... Stimmt das so?
Nehmen wir nun die Zufallsvariable ; Wie sieht dann die sigma-algebra aus, die von X erzeugt wird?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1. siehst du in beiden Beispielen richtig.

2. ebenfalls.

Zu 3.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Und die von x erzeuge Sigma-Algebra ist gegeben durch

Das ist richtig, bei den konkreten Urbildern liegst du aber falsch bzw. verwendest die falsche Symbolik: Es ist ja

,

d.h., die Elemente von sind geordnete Paare von Augenzahlen. Damit kann man dann die Urbilder ausdrücken:




Zu 4. " als Borel-Sigmaalgebra wählen" ist Unfug - da bringst du erste und zweite Komponente des W-Raumes durcheinander. Das Urbild der Borel-Sigmaalgebra ist aber wieder die Borel-Sigmaalgebra, insoweit hast du Recht, d.h., die Messbarkeit ist bei deiner identischen Abbildung trivialerweise erfüllt.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Nehmen wir nun die Zufallsvariable ; Wie sieht dann die sigma-algebra aus, die von X erzeugt wird?

Bezogen auf ist das doch ganz einfach: Rechne erstmal



aus. Wie wird nun die Sigma-Algebra aussehen, die von diesen beiden Mengen (Intervallen) erzeugt wird?
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,


vielen Dank für deine Antwort;

Zu 3. Das verstehe ich nicht ganz - Nehmen wir die Indikatorfunktion aus 1. mit der Bedingung dass die Augenzahl gerade ist;
Dann kann ich, wenn ich weiß, dass die Indikatorfunktion 1 ist nur daraus schließen, dass die Zahl gerade ist bzw. wenn sie 0 ist, dass die Zahl ungerade ist;
Dann berechne ich aber die Sigma-Algebra als , nicht aber als ;
Ebenso weiß ich im Beispiel von 3. doch auch nicht wie z.B. die 7 zustande kam(6+1, 5+2, ....);
Wieso nehme ich dann nicht auch hier die Vererinigung davon sondern die tatsächlichen Paare?

zu 4. Das habe ich zum Glück verstanden, dass die Grundmenge nicht die Borel-Sigma-Algebra ist - das ist nur ein Rechtschreibfehler - sorry dafür;
Ich verstehe noch nicht ganz die Definitionsmenge der Zufallsvariablen bzw. deren Inversen; Wenn ich z.B. das Beispiel der Gleichverteilung in [0,1] nehme;
Wenn ich nun die Funktion nur von der Grundmenge definiere und nicht der Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums, also nur einzelne Punkte habe, dann besteht das Urbild auch nur aus einzelnen Punkten; Erzeugt das dann die Borel-Sigma Algebra?

Zu dem Beispiel mit der Indikatorfunktion in [0,1]; Definieren wir da den Wahrscheinlichkeitsraum als und die Sigma-Algebra als die Borel-Sigma Algebra reduziert auf den Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist die Sigma-Algebra die von X erzeugt wird

Stimmt das? Was wäre, wenn ich jetzt stattdesses als Wahrscheinlichkeitsraum so wähle, dass die gesamten reellen Zahlen sind mit der Borel-Sigma-Algebra; Wäre es dann immer noch gleich?


Ich würde nun gerne ein kleines Beispiel erzeugen, vielleicht mit einem stationären Prozess, der trotzdem nicht unabhängig ist, viellleicht nur aus 5 Zufallsvariablen, wo ich den Koeffizient berechnen kann;
Zum Beispiel könnte ich wählen als die Sigma-Algebra erzeugt von den ersten beiden Zufallsvariablen und wählen als die Sigma-Algebra erzeugt von den letzen beiden Zufallsvariablen ;
Und dann den Koeffizienten berechnen - kannst du dir da ein Beispiel vorstellen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Wieso nehme ich dann nicht auch hier die Vererinigung davon sondern die tatsächlichen Paare?

Hallo? Oben steht doch de facto die Vereinigung! Es ist z.B

,

genauso wie in deinem Indikatorbeispiel ist. Kann es sein, dass du irgendwie etwas "wacklig" bei Mengendarstellungen bist? Den Eindruck hatte ich oben schon bei dem falschen

Zitat:
Original von Matheneuling1991

Die Sigma-Algebra wird nicht von Mengen bestehend aus einzelnen Paaren erzeugt, sondern von den Mengen für . D.h., du wirst in der erzeugten Sigma-Algebra keine Menge finden, die zwar (1,2), aber nicht (2,1) enthält - die sind untrennbar, d.h., entweder sind beide Paare drin oder keins.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Wenn ich nun die Funktion nur von der Grundmenge definiere und nicht der Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums, also nur einzelne Punkte habe, dann besteht das Urbild auch nur aus einzelnen Punkten; Erzeugt das dann die Borel-Sigma Algebra?

Die Frage ist falsch aufgebaut: selbst wird als Abbildung punktweise definiert, also auf - das betrachtet man völlig getrennt von der Frage nach der Messbarkeit! Und was die betrifft: Nein, bei der Borel-Sigmaalgebra reicht es nicht, nur die Urbilder der Einermengen zu untersuchen. Man benötigt mindestens die Urbilder aller Mengen eines wirklichen Erzeugersystems der Borel-Sigmaalgebra, das kommen z.B. die Intervalle für alle in Frage.

Dein Beispiel mit der Indikatorfunktion ist in diesem Fall extrem unrepräsentativ, wie überhaupt sämtliche diskreten Zufallsgrößen auf einem überabzählbaren Grundraum: Nur weil es dort klappt mit der ausschließlichen Betrachtung von nur endlich bzw. abzählbar vielen heißt das ja noch lange nicht, dass es für beliebige (z.B. stetig verteilte) auch so funktioniert.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Zu dem Beispiel mit der Indikatorfunktion in [0,1]; Definieren wir da den Wahrscheinlichkeitsraum als und die Sigma-Algebra als die Borel-Sigma Algebra reduziert auf den Wahrscheinlichkeitsraum, dann ist die Sigma-Algebra die von X erzeugt wird

Stimmt soweit.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Was wäre, wenn ich jetzt stattdesses als Wahrscheinlichkeitsraum so wähle, dass die gesamten reellen Zahlen sind mit der Borel-Sigma-Algebra

Dann ist



die erzeugte Sigmaalgebra.


Was dein letztes Beispiel betrifft: Ich hab keine Ahnung, von welchem du da redest. Und auch nicht, über welchem Grundraum du deine 5 Zufallsgrößen betrachten willst - na egal, leg mal los.



P.S.: Ein solides Grundwissen an Maßtheorie scheint bei dir zu fehlen, sehr sehr viele deiner Fragen lassen das vermuten. Ist wohl so, dass das bei euch nur als notwendiges Anhängsel zur Wahrscheinlichkeitstheorie so schnell, schnell verfrühstückt wurde. Ich hatte damals eine einsemestrige Vorlesung nur über Maßtheorie (also kaum Bezüge zur Wahrscheinlichkeitstheorie) gehört, die stark an das Lehrbuch "H.Bauer: Maß- und Integrationstheorie" angelehnt war. Etwas trocken der Stoff, aber lehrreich.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000,

erst einmal entschuldigung für die späte Antwort.
Du hast Recht, mir fehlt da das Grundwissen dies bezüglich - aber eigentlich(und ich schäme mich es zu sagen) hatte ich auch eine Vorlesung Maßtheorie, die über ein Semester ging nur
1. ist es schon etwas her und da ich es danach nie wieder gebraucht habe, habe ich einfach einiges vergessen
2. war der Lernaufwand gering eben weil es mich so wenig interessiert hat;

Nun zurück zum Thema; Ich spreche von dem wie ich es in einem früheren Beitrag definiert habe:

Gegeben sei ein stochastischer Prozess mit einer Stichprobe ;
Wir bezeichnen mit die sigma Algebra, erzeugt von , wobei


,

wobei und ; Hier hägen die beiden Sigma-Algebras von dem stochastischen Prozess ab, z.B. könnte es sein, dass
und und

Ich versuche es an einem ganz einfachen Beispiel zu verstehen, z.B. sei und ;
Also jeweils nur von einer Zufallsvariablen definiert; Wie mache ich nun weiter?

Wir können gerne als Beispiel einen stochastischen Prozess nehmen, der relativ einfach ist, allerdings sollten die Zufallsvariablen voneinander abhängig sein, weil der Term sonst einfach 0 ist..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, warum du so auf der konkreten Gestalt der Sigma-Algebren beharrst. An sich ist es ja der Clou, die eben nicht konkret zu kennen, sondern nur gewisse abstrakte Messbarkeitsforderungen zu stellen. Natürlich kannst du sowas in vielen Fällen kanonisch konstruieren, aber wirklich einfach ist das nie.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil...

1. Ich glaube ein Beispiel hilft mir es selbst besser zu verstehen
2. ich brauche dieses als Nebenprodukt für eine Arbeit, die ich anfertige und da wäre es schön ein Beispiel zu nennen, sei es auch noch so klein , z.B. wenn man zwei Sigma-Algebren verwendet, die jeweils nur von einer Zufallsvariablen erzeugt werden;
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann musst du dir halt was zurechtbasteln. Ich hab keine Ahnung, in welche Richtung das gehen soll, ob diskrete oder stetige usw. Für ein einfaches Beispiel wären natürlich erstmal diskrete die einfachere Wahl.

Ich würde zumindest mal ganz einfach anfangen mit und , z.B. Münzwurf mit Kopf=1 (Wahrscheinlichkeit ) und Zahl=0 (Wahrscheinlichkeit ) mit o.B.d.A und dann

... Ergebnis erster Wurf

... Summe der ersten beiden Würfe .

Da haben wir dann eine Abhängigkeit reingebracht. Die -Algebren sind dann für gleich



.

Für dieses extrem einfache Beispiel kannst du ja nun



mal ausrechnen. Klar, für oder sowie oder kommt nur Null für die Betragsdifferenz raus, es verbleiben also "nur" noch Kombinationen zu untersuchen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt da heraus.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000



.



Okay, fangen wir langsam an:

Ich verstehe, dass und gegeben sind durch:


.

Nun sind Mengen wie etwas verwirrend; Aber ich nehme an, dass wenn ich das Komplement davon berechne, dann nehme ich einfach die Vereinigung von allen anderen Ereignissen? Also z.B. ist das Komplement von einfach , richtig? Ebenso ist die Vereinigung von den beiden Elementen ; Damit komme ich in der Tat auf:



Das Gleiche nun für die zweite Sigma-Algebra ergibt:

.

Habe ich das richtig verstanden?

Nun zu der Berechnung: Wenn ich z.B. berechne, mit A aus der ersten Sigma-Algebra; Das bedeutet, dass ich mir ein Element aussuche und die Wahrscheinlichkeit dafür berechne, also z.B. wenn , dann ist , richtig?
Wenn ich nach suche, wobei B aus der zweiten Sigma-Algebra stammt, dann suche ich nach den gemeinsamen Ereignissen und berechne deren Wahrscheinlichkeit, also z.B. für , dann haben wir als gemeinsames Ereignis und damit

Habe ich das soweit alles richtig verstanden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

hat 4 Elemente, ja.

Bei scheint aber einiges in deiner Aufzählung zu fehlen: Alle möglichen Vereinigungen von 0 bis 3 der drei erzeugenden disjunkten Grundmengen



bilden diese Sigma-Algebra.

Zitat:
Original von Matheneuling1991
berechne, also z.B. wenn , dann ist , richtig?

Richtig, aber überkompliziert geschrieben: Es ist , basierend auf

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Wenn ich nach suche, wobei B aus der zweiten Sigma-Algebra stammt, dann suche ich nach den gemeinsamen Ereignissen und berechne deren Wahrscheinlichkeit, also z.B. für , dann haben wir als gemeinsames Ereignis und damit

Korrekt.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay perfekt, aber die zweite Sigma-Algebra habe ich doch komplett aufgezählt oder was fehlt da?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
.

Du hast mich mit deinem Gleichheitszeichen mitten in der Mengenaufzählung massiv verwirrt - ich hatte beim Drüberblicken angenommen, dort ist die Mengenaufzählung zuende. Das ist syntaktisch nicht in Ordnung! Es ist so schon schwer, den Überblick zu behalten, durch solche Kapriolen wird es noch ekliger. unglücklich

Falls du daher einfach nur



meinen solltest, stimmt es.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das wollte ich nicht; Ich habe es eben bewusst ausführlich aufgeschrieben, damit du meinen Gedanken folgen kannst; Deswegen hatte ich auch geschrieben und nicht q; Aber vermutlich habe ich das Gegenteil erreicht...

Falls es dich verwirrt hat, möchte ich mich entschuldigen; geschockt
Ich versuche das jetzt durchzurechnen und schreibe dir nochmals in 1-2 Stunden, wenn das okay ist...

LG
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe es mal durchgerechnet und das passt...

Auch gibt es noch zwei weitere Kenngrößen;



und


ist klar, allerdings verstehe ich nicht so richtig - kannst du mir helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine -messbare Zufallsgröße mit der Eigenschaft

für alle .

Im diskreten Fall wie hier bedeutet das

für ,

sofern atomar (= unteilbar) in ist und zudem gilt. Im Falle von obigem sind just jene drei schon mehrfach genannten Mengen , und die zu betrachtenden atomaren Mengen. Damit kann man dann vereinfachen

.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
ist eine -messbare Zufallsgröße mit der Eigenschaft

für alle .

Im diskreten Fall wie hier bedeutet das

für ,

sofern atomar (= unteilbar) in ist und zudem gilt. Im Falle von obigem sind just jene drei schon mehrfach genannten Mengen , und die zu betrachtenden atomaren Mengen. Damit kann man dann vereinfachen

.


Okay, is wohl ein bisschen komplizierter als die anderen zwei;

für alle .

Gilt diese Gleichung immer? Ich verstehe nicht woher alles kommt, aber zumindest verstehe ich die Idee;

Nun aber noch eine Frage - Ich habe in einem Buch eine alternative Darstellung gefunden, nämlich:


wobei das supremum über alle endliche Partitionen geht, sodass with and with .

Ist das offensichtlich, dass dies das selbe ist? Oder kann man das beweisen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheneuling1991
für alle .

Gilt diese Gleichung immer?

Das folgt aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, bzw. zunächst aus der der bedingten Erwartung via .

Zitat:
Original von Matheneuling1991
Ist das offensichtlich, dass dies das selbe ist? Oder kann man das beweisen?

Ach herrje, das wird aber länger dauern:

Im Fall endlicher Sigma-Algebren, auf den ich mich ja bezogen habe, ist die Partition bestehend aus den von mir so genannten atomaren Mengen die feinste aller möglichen Partitionen von , d.h., jede mögliche andere Partititon hat die Eigenschaft, dass jedes der eine Vereinigung von endlich vielen (aber mindestens einer) atomaren Mengen von ist, also sagen wir mal . Nun ist damit dann aber wegen der Additivität des W-Maßes



und wegen der Dreiecksungleichung

,

d.h., die Summe in deiner Definition wird maximal, wenn just jener feinsten möglichen Partition entspricht.

Gleiches gilt für die Partition von , insgesamt kann man also im Falle der Endlichkeit beider -Algebren



schreiben, wenn man als Partititonen diejenigen bestehend jeweils aus den atomaren Mengen beider Sigma-Algebren wählt. Was jetzt noch geklärt werden muss im Abgleich mit meiner Formel oben ist die Gleichheit

.

Nun ist wiederum wegen der Additivität des W-Maßes

,

wir können nun die Indexmenge aufteilen in solche mit positivem bzw. besser gesagt nichtnegativen (zugehörige Indexmenge ) und solche mit negativem (Indexmenge ). Ein beliebiges , wie es rechts in (2) auftaucht, ist nun die Vereinigung von solchen für gewisse , d.h., es gibt eine Indexmenge mit . Nun wird wegen



maximal, wenn und minimal (dann negativ) für . Beide Werte sind wegen dem aus (3) folgenden



betragsmäßig gleich groß, es gilt also

,

während links in (2) steht



letzteres wiederum wegen (4). Damit ist dann auch (2) gezeigt, der letzte Baustein auf diesem langen Weg.


Hartes Stück Arbeit... Die von dir angebrachte Darstellung von ist auch geeignet für unendliche Sigma-Algebren, und damit allgemeiner. Zur Berechnung im diskreten Fall taugt wohl am besten Formel (1).


P.S.: Da hat sich doch kürzlich einer beschwert, im Stochastikforum würde er keine Antworten mehr bekommen. Derjenige sollte vielleicht mal nach anderen Gründen suchen als denen des angeblichen Niedergangs des Boards. Augenzwinkern
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich bin wohl das schwarze Schaf, das gar keine Antwort mehr gibt, nachdem er die Lösung auf dem Silbertablett serviert bekommt... Ich wollte dir schreiben, nachdem ich alles verstehe und habe es dann vergessen.

Jedenfalls: Vielen Dank für das gemeinsame Rechnen des Beispiels und den Beweis jetzt- du hast mir dabei geholfen das Ganze selbst etwas besser zu verstehen - und zu dem letzten Beweis:
Sorry, ich hätte nicht gedacht, dass es so umfangreich ist - so kann ich es vermutlich nicht einmal abschreiben ohne dich zu erwähnen verwirrt smile

Vielen Dank für alles, du hast mir sehr geholfen..
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