Integral mit Potenzreihe entwickeln

18.06.2017, 16:59

KonverDiv

Integral mit Potenzreihe entwickeln

Hallo zusammen,

Ich soll das Integral näherungsweise berechnen und dazu eine Potenzreihe verwenden.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{sin(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass man jetzt die Sinusreihe nehmen könnte und dann gliedweise durch x dividiert.

Aber warum kommt man mit dem normalen Weg nicht auf die gleiche Lösung?

Ich würde jetzt einen Entwicklungspunkt nehmen x0 = 0 und nach MacLaurin die Potenzreihe aufstellen.

Die Ableitungen sind dann:

0 Ableitung
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} \end{eqnarray*}$

1 Ableitung
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\cos\left(x\right)}{x}-\dfrac{\sin\left(x\right)}{x^2} \end{eqnarray*}$

2 Ableitung
$\begin{eqnarray*} -\dfrac{\left(x^2-2\right)\sin\left(x\right)+2x\cos\left(x\right)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Aufstellen der MacLaurin Reihe:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x^{1} + \frac{f''(0)}{2!}x^{2}+... \end{eqnarray*}$

Leider sieht man jetzt sehr schnell, dass alles 0 wird, da die Brüche 0 sind. Mir stellt sich jetzt die Frage, warum funktioniert das nicht? Muss der Entwicklungspunkt anders aussehen?

Wenn man die MacLaurin Reihe dann hätte, könnte man diese Integrieren und die Grenzen einsetzen...

18.06.2017, 17:10

Guppi12

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Hallo KonverDiv,

Zitat:

Leider sieht man jetzt sehr schnell, dass alles 0 wird, da die Brüche 0 sind.

Ah ja, da würde ich nicht zustimmen. erstmal sind diese Ableitungen natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gültig. Du kannst schließlich nicht durch Null dividieren. Man kann allerdings argumentieren, dass die betrachtete Funktion glatt in den Nullpunkt fortsetzbar ist und daher die Ableitung in Null als Grenzwert der Ableitungen gegen Null berechnet werden kann.

Warum aber sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos(x)}{x}-\frac{\sin(x)}{x^2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten?

Um auf deine Frage zurückzukommen: Man kann diesen anderen Weg sehr wohl gehen, man darf dann nur nicht fälschlicherweise denken, dass irgendwelche Terme gleich Null sind, die es in Wahrheit nicht sind. Wirklich schöner werden die höhreren Ableitungen natürlich auch nicht. Du siehst also, es ist sinnvoll, stattdessen die Potenzreihe des Sinus zu verwenden.

18.06.2017, 17:14

KonverDiv

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Ah, super. Danke für deine Antwort.

Ich finde das gerade hochinteressant.

Wenn ich sage für x>0 bsp x0 = 1 könnte ich dann doch das Polynom (Taylorreihe) entwickeln oder?

18.06.2017, 17:23

Guppi12

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Ja, könntest du, aber einfacher wird es dadurch auch nicht. Auch bei der Entwicklung um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hätte es sich um eine Taylorreihe gehandelt.

18.06.2017, 17:27

KonverDiv

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Ah ok, das beantwortet dann aber meine Frage sehr gut.

D.h. es ist mit x0 = 1 zwar machbar aber nicht so schön wie mit der Sinus Potenzreihe gekürzt mit x?

18.06.2017, 17:43

Guppi12

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Ja.

18.06.2017, 17:50

KonverDiv

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Dann ist alles geklärt! Super! Freude

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