Wo hat 1/z eine Stammfunktion?

18.06.2017, 17:00

HeikoR

Wo hat 1/z eine Stammfunktion?

Meine Frage:
Auf welchen dieser Gebiete hat $\begin{eqnarray*} f(z):=\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion?

$\begin{eqnarray*} K_1(i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2(0)\cap \mathbb C^{\times} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_1(2)\backslash \left\{2\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich würde zunächst gerne die Vorgehensweise wissen.

Eine Funktion hat ja genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral über jeden geschlossenen Integrationsweg 0 ergibt.
Ich kenne die Rechnung, mit der man zeigt, dass 1/z auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{\times} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion hat; es gibt einen Weg, für den statt 0 $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ herauskommt.

Aber wie mache ich es hier? Wie zeige ich etwas für "jeden" Integrationsweg? Ich kenne den Integralsatz von Cauchy, dafür müsste man aber zeigen, dass das Gebiet einfach zusammenhängend ist.

Wie zeigt man das?

Und wie finde ich einen Weg, falls keine Stammfunktion existiert, für den das Integral nicht 0 ist?

18.06.2017, 19:42

10001000Nick1

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Dass jeder Kreis einfach zusammenhängend ist, kannst du direkt mit der Definition zu zeigen, d.h. indem du zu jeder geschlossenen Kurve eine Homotopie angibst, die diese Kurve auf den Mittelpunkt (oder irgendeinen anderen Punkt innerhalb des Kreises) zusammenzieht.

18.06.2017, 20:03

HeikoR

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Wie sieht so eine Homotopie aus? Leider habe ich bisher kaum konkrete Homotopien gesehen.
Es müsste ja eine Abbildung sein, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} h_{1}(t)=m+re^{it} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{0}(t)=m \end{eqnarray*}$ ,

oder?

Wäre dann z.B. also $\begin{eqnarray*} h_s(t)=m+s*re^{it} \end{eqnarray*}$ eine solche Homotopie?

Bitte um Entschuldigung, falls das jetzt völliger Unsinn ist, bin noch sehr unsicher im Thema. Aber ich gebe mir Mühe besser zu werden!
Würde mich über weitere Hilfe freuen!

18.06.2017, 20:21

10001000Nick1

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Das ist eine Homotopie, die eine Kreislinie auf einen Punkt zusammenzieht. Die Kurve muss aber keine Kreislinie sein; wir wissen nur, dass sie geschlossen ist und innerhalb der Kreisfläche verläuft.

Sei also $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C, r>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma: [0,1]\to K_r(a) \end{eqnarray*}$ stetig mit $\begin{eqnarray*} \gamma(0)=\gamma(1) \end{eqnarray*}$ .

Schauen wir uns einen festen Punkt $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ auf der Kurve an (d.h. mit festem $\begin{eqnarray*} t\in[0,1] \end{eqnarray*}$ ). Es muss $\begin{eqnarray*} h_0(t)=\gamma(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_1(t)=a \end{eqnarray*}$ gelten. Die Homotopie "verschiebt" also diesen Punkt $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wie könnte man dieses "Verschieben" (also $\begin{eqnarray*} h_s(t) \end{eqnarray*}$ ) durch eine Funktionsgleichung beschreiben?

18.06.2017, 20:32

HeikoR

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$\begin{eqnarray*} h_s(t)=sa+(1-s)\gamma(t) \end{eqnarray*}$

würde doch diese Anforderungen erfüllen?

Was mir aber nicht klar ist: Wo berücksichtige ich jetzt (außer in der Definition von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , dass es um Kreisscheiben geht? So würde diese Argumentation doch für beliebige Gebiete funktionieren, aber es gibt ja auch Gebiete, die nicht einfach zusammenhängend sind.

18.06.2017, 20:39

10001000Nick1

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Genau; damit hast du eine passende Homotopie gefunden.

$\begin{eqnarray*} h_s(t) \end{eqnarray*}$ muss für alle $\begin{eqnarray*} s,t\in[0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K_r(a) \end{eqnarray*}$ liegen. Damit das gilt, muss das Gebiet konvex sein (nicht unbedingt eine Kreisscheibe).

D.h. mit genau demselben Beweis zeigt man sogar, dass alle konvexen Gebiete einfach zusammenhängend sind.

18.06.2017, 20:48

HeikoR

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Ok, danke, das habe ich schonmal verstanden!!

Zurück zu der ursprünglichen Aufgabe: Ganz so einfach ist es ja immer noch nicht.
Denn beim ersten Gebiet ist ja auch die Null enthalten, macht mir das bei 1/z nicht Probleme? Beim zweiten und dritten fehlt jeweils der Mittelpunkt; sind die Gebiete dann überhaupt noch einfach zusammenhängend?

18.06.2017, 20:56

10001000Nick1

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Mit $\begin{eqnarray*} K_1(i) \end{eqnarray*}$ ist die offene Kreisfläche mit Radius 1 um i gemeint; und da ist die 0 nicht enthalten. (Gebiete sind per Definition offen.)

Die anderen beiden Gebiete sind zwar nicht einfach zusammenhängend; das heißt aber nur, dass du den Cauchyschen Integralsatz nicht anwenden darfst. Trotzdem kann es eine Stammfunktion geben.

18.06.2017, 21:04

HeikoR

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Hab ich verstanden.

Nun ja, da 1/z auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C ^{\times} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion hat, könnte man doch mit genau demselben Weg $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=cos(t)+isin(t) \end{eqnarray*}$ auch für das zweite Gebiet zeigen, dass das Integral $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ und nicht 0 ergibt. Also keine Stammfunktion.
Und das dritte ist ja genau wie das zweite, nur verschoben. Da könnte man doch analog argumentieren?

18.06.2017, 21:09

10001000Nick1

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Zitat:

Original von HeikoR
Und das dritte ist ja genau wie das zweite, nur verschoben. Da könnte man doch analog argumentieren?

Nein; dass das Integral beim zweiten Gebiet nicht 0 ergibt, liegt daran, dass der Integrationsweg um eine Polstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ herum läuft.

Was wäre denn, wenn da nicht $\begin{eqnarray*} K_1(2)\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} K_1(2) \end{eqnarray*}$ stehen würde?

18.06.2017, 21:21

HeikoR

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Dann könnte man doch analog zum ersten Gebiet argumentieren, mit der obigen Beweisführung. Aber hier fehlt ja ein Punkt im Kreis...

18.06.2017, 21:28

10001000Nick1

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Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat doch die Eigenschaft, dass in jedem Punkt die Ableitung der Stammfunktion gleich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. Wenn du nun einen Punkt aus dem Gebiet rausnimmst, ändert sich doch in den anderen Punkten nichts daran, dass diese Bedingung erfüllt ist.

Wenn man es doch mit dem Cauchyschen Integralsatz machen will, dann nimmt man sich eine geschlossene Kurve in $\begin{eqnarray*} K_1(2)\setminus \{2\} \end{eqnarray*}$ ; diese verläuft dann natürlich auch in dem (einfach zusammenhängenden) Gebiet $\begin{eqnarray*} K_1(2) \end{eqnarray*}$ , auf dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph ist...

19.06.2017, 11:37

HeikoR

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Wir haben jetzt ja nur Kreise betrachtet.

Wie würde es denn mit einem anderen Gebiet, wie z.B. einem Herz, aussehen? Ein Herz ist ja nicht konvex, d.h. der Beweis von oben klappt nicht.

19.06.2017, 19:51

10001000Nick1

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Kleine Ergänzung zu diesem Beitrag:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} h_s(t) \end{eqnarray*}$ muss für alle $\begin{eqnarray*} s,t\in[0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K_r(a) \end{eqnarray*}$ liegen. Damit das gilt, muss das Gebiet konvex sein (nicht unbedingt eine Kreisscheibe).

Das Gebiet muss nicht konvex sein; es reicht, wenn es ein Sterngebiet ist. Dann kannst du mit dieser Homotopie jede geschlossene Kurve auf ein Sternzentrum zusammenziehen.
Sterngebiete sind also einfach zusammenhängend.

Dann gibt es z.B. noch die Möglichkeit, zu zeigen, dass deine Menge homöomorph zu einer Menge ist, von der du weißt, dass sie einfach zusammenhängend bzw. nicht einfach zusammenhängend ist. Denn Homöomorphismen erhalten die Eigenschaft, einfach zusammenhängend zu sein (genauso übrigens wie Zusammenhang, Wegzusammenhang und andere topologische Eigenschaften).

Noch eine Möglichkeit, um zu zeigen, dass ein Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist: Du gibst eine geschlossene Kurve und eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet an, sodass das Kurvenintegral ungleich 0 ist (so kann z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb C^\times \end{eqnarray*}$ nicht einfach zusammenhängend sein wegen $\begin{eqnarray*} \int_{\partial K_1(0)} \frac 1z\, dz\neq 0 \end{eqnarray*}$ ).

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