Betrag komplexer Ableitung beschränkt

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InsBett Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag komplexer Ableitung beschränkt
Meine Frage:
holomorph, für . zz.:



für alle

Meine Ideen:
Ist ja eine verblüffend simple Aussage. Aber mir fehlt total die Beweisidee!! Ich komme einfach nicht auf den Clou. Bitte um Hilfe!!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir mal auf Wikipedia den Satz von Liouville an. Der dort angegebene Beweis sollte Dir helfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Lemma von Schwarz-Pick, das ich letztens erst durch Hinweis von IfindU kennengelernt habe, ist sogar noch eine schärfere Beschränkung der Ableitung möglich.
InsBett Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Abschätzung sieht natürlich schon passend aus. Aber ich sehe leider nicht, wie ich hier mein |z|<=1 bzw. 1/2 hineinbringe...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast Du denn bisher abgeschätzt?
InsBett Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war von dem Beweis des Satzes von Liouville ausgegangen; da könnte man ja c gleich 1 setzen, da hier f ja durch 1 beschränkt ist. Aber eben nur für |z|<=1. Und wie hilft mir das überhaupt, um zu wissen, was bei |z|<=1/2 ist??
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InsBett
Ich war von dem Beweis des Satzes von Liouville ausgegangen; da könnte man ja c gleich 1 setzen, da hier f ja durch 1 beschränkt ist.


Richtig, das kann man.

Zitat:
Original von InsBett
Aber eben nur für |z|<=1. Und wie hilft mir das überhaupt, um zu wissen, was bei |z|<=1/2 ist??


Wer hindert Dich daran, über den Rand des Kreises mit Radius um die Null zu integrieren?
InsBett Auf diesen Beitrag antworten »

Was mich verwirrt: Setzen wir c gleich 1 und r gleich 1/2, dann ist der Betrag der Ableitung ja durch 2, und nicht durch 4, beschränkt.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InsBett
Was mich verwirrt: Setzen wir c gleich 1 und r gleich 1/2, dann ist der Betrag der Ableitung ja durch 2, und nicht durch 4, beschränkt.


Zeig doch einfach mal was Du gerechnet hast.


Edit: Ich glaube ich habe in einem vorherigen Beitrag etwas Unsinniges geschrieben: integriere nicht entlang der Kugel mit Radius sondern entlang einer Kugel mit Radius .
InsBett Auf diesen Beitrag antworten »





Wenn also c=1, und r=1, ist auch der Betrag der Ableitung kleiner/gleich 1. Aber was ist jetzt mit dem |z|<=1/2?

Sorry aber ich blicke überhaupt nicht durch unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InsBett




Wenn also c=1, und r=1, ist auch der Betrag der Ableitung kleiner/gleich 1. Aber was ist jetzt mit dem |z|<=1/2?


Das ist nicht die korrekte Darstellung der Ableitung, Du sollst entlang eines Kreises mit Radius 1 um die Null integrieren und abschätzen wie im Beweis von Liouville, also
.

Nun gilt , also was kannst Du über sagen? Sei jetzt also noch . Was kannst Du dann über sagen? Schliesslich noch die Standardabschätzung für Kurvenintegrale.
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