Handelt es sich um Unterräume?

19.06.2017, 11:52

LaLiLuLinsky

Handelt es sich um Unterräume?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich ein wenig "Starthilfe" gebrauchen könnte.

Gegeben ist M1:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right) \vert \sum\limits_{i=1}^{5} a_i = 0, a_i \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Sowie M2:
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right) \vert a_1\neq 0 , a_2= a_3 , a_i \in \mathbb R \right\} <br /> \end{eqnarray*}$

Nun zur Aufgabe:

a) Handelt es sich um Unterräume des R^5?
b) Bestimmen Sie <M_1> und <M-2>

Meine Ideen:
Zu a)
Diese würde ich mit dem Unterraumkriterium angehen.
-> M_1 ist nicht die leere Menge, da z.B. (0,0,0,0,0) enthalten ist, M_2 ist ebenfalls nicht die leere Menge, da z.B. (1,1,1,1,1) enthalten ist.

-> Jetzt ist natürlich die Frage, ob Abgeschlossenheit vorliegt. Hierbei ist mit nicht so ganz klar, wie ich das in diesem Fall mit der Summe angehen muss. Von daher würde ich mich, wie oben schon erwähnt, über ein wenig Starthilfe freuen.

Schon mal vielen Dank und beste Grüße

19.06.2017, 12:37

klarsoweit

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RE: Handelt es sich um Unterräume?

Zitat:

Original von LaLiLuLinsky
Hierbei ist mit nicht so ganz klar, wie ich das in diesem Fall mit der Summe angehen muss.

Nun ja, als erstes mal hinschreiben, was formal zu zeigen ist:
Sind $\begin{eqnarray*} (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5) \end{eqnarray*}$ Elemente von M_1, dann ist auch $\begin{eqnarray*} (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) + (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5) \end{eqnarray*}$ ein Element von M_1. smile

19.06.2017, 12:40

HAL 9000

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RE: Handelt es sich um Unterräume?
@LaLiLuLinsky

a) Ist dir bewusst, dass der Nullpunkt in jedem Unterraum enthalten sein muss? Wie sieht es damit bei $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ aus?

b) Ich kenn jetzt deine Symbolik nicht, ich kann nur mutmaßen dass du mit $\begin{align*} \langle M\rangle \end{align*}$ den von $\begin{align*} M \end{align*}$ erzeugten Unterraum (d.h. den kleinsten Unterraum, der M enthält) meinst, oder? verwirrt

19.06.2017, 14:03

Clearly_wrong

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Das ist meines Erachtens ein schönes Beispiel dafür, dass es konzeptionell falsch ist, das Unterraumkriterium so zu lehren, dass man prüfen muss, ob es sich nicht um die leere Menge handelt statt des richtigen Kriteriums, ob der Nullvektor enthalten ist.

In Theorie ist das erste Kriterium natürlich leichter nachzuprüfen, aber mir kann niemand erzählen, dass es praktisch irgendwo mal einfacher war, nachzuprüfen, ob die Menge nicht leer ist, im Gegensatz dazu, ob der Nullvektor enthalten ist.

Auf der Negativseite stehen aber all die Studenten, die aufgrund dieses abgeschwächten Kriteriums bzw. falschen Konzepts nicht verstehen, was ein Untervektorraum wirklich ist.

20.06.2017, 15:21

LaLiLuLinsky

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RE: Handelt es sich um Unterräume?
Schon mal vielen Dank, für eure (bis hierher) sehr nützlichen Antworten!

Zitat:

Original von HAL 9000
@LaLiLuLinsky

a) Ist dir bewusst, dass der Nullpunkt in jedem Unterraum enthalten sein muss? Wie sieht es damit bei $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ aus?

b) Ich kenn jetzt deine Symbolik nicht, ich kann nur mutmaßen dass du mit $\begin{align*} \langle M\rangle \end{align*}$ den von $\begin{align*} M \end{align*}$ erzeugten Unterraum (d.h. den kleinsten Unterraum, der M enthält) meinst, oder? verwirrt

zu a) in $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ ist der Nullpunkt nicht enthalten. Somit handelt es sich also um keinen Unterraum.

zu b) Mit $\begin{align*} \langle M\rangle \end{align*}$ meine ich das "Erzeugnis". Dieses haben wir in der Vorlesung definiert als:

Sei X eine Teilmenge des K- Vektorraums.
$\begin{eqnarray*} \langle X\rangle = \cap_{U ist Unterraum, X \subseteq U} \; U \end{eqnarray*}$

20.06.2017, 15:28

klarsoweit

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RE: Handelt es sich um Unterräume?
OK. Jetzt bleiben wir erst mal bei Aufgabe a und dem Nachweis, daß M_1 ein Unterraum ist.

20.06.2017, 15:48

LaLiLuLinsky

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RE: Handelt es sich um Unterräume?
M_1 enthält den Nullpunkt, was ja erforderlich ist. Anders ausgedrückt, M_1 ist ungleich der leeren Menge, da sie den Nullpunkt enthält.

Jetzt zur Abgeschlossenheit:

$\begin{eqnarray*} u,v \in M_1 \vee \lambda, \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann muss gelten, dass auch die Summe in M_1 liegt:
$\begin{eqnarray*} \lambda * u + \mu * v \in M_1 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall also:
$\begin{eqnarray*} (\lambda u_1,\lambda u_2, \lambda u_3,\lambda u_4,\lambda u_5) + (\mu v_1,\mu v_2, \mu v_3, \mu v_4, \mu v_5) = (\lambda u_1 + \mu v_1,\lambda u_2 + \mu v_2, \lambda u_3 + \mu v_3,\lambda u_4 + \mu v_4,\lambda u_5 + \mu v_5) \in M_1<br /> \end{eqnarray*}$

Und da die jeweiligen Summen der a_i gleich 0 waren, müssen sie es nach der Multiplikation bzw Summation auch noch sein, stimmt's?

20.06.2017, 16:01

klarsoweit

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RE: Handelt es sich um Unterräume?
Im Prinzip ja. Ein formaler Nachweis, der diesen Gedanken transparent macht, wäre natürlich schöner. smile

20.06.2017, 16:17

LaLiLuLinsky

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RE: Handelt es sich um Unterräume?

Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip ja. Ein formaler Nachweis, der diesen Gedanken transparent macht, wäre natürlich schöner. smile

Das stimmt natürlich. Ich überlege allerdings noch, wie ich das am Besten, formal richtig, aufschreiben soll...

Dann noch zu b)
Kann mir hierzu vielleicht noch jemand einen Tipp oder sowas geben? Vielen Dank!

20.06.2017, 17:14

HAL 9000

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b) Wenn $\begin{align*} M \end{align*}$ bereits ein Unterraum ist, dann ist $\begin{align*} \langle M\rangle = ? \end{align*}$ ... damit sollte $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ erledigt sein.

Bei $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ wird man noch etwas hinzufügen müssen, damit ein Unterraum draus wird:

Nehmen wir mal $\begin{align*} (a_1,a_2,a_2,a_4,a_5) \end{align*}$ , das ist für $\begin{align*} a_1\neq 0 \end{align*}$ ja in $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ enthalten. Und nehmen wir nun noch $\begin{align*} (a_1,0,0,0,0) \end{align*}$ , das ist ebenfalls in $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ enthalten. Dann muss $\begin{align*} \langle M_2\rangle \end{align*}$ auch die Differenz enthalten, das wäre $\begin{align*} (0,a_2,a_2,a_4,a_5) \end{align*}$ , diese Vektoren müssen also auf jeden Fall noch mit rein. Reicht das, oder muss noch mehr mit rein?

21.06.2017, 09:18

klarsoweit

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RE: Handelt es sich um Unterräume?

Zitat:

Original von LaLiLuLinsky
Ich überlege allerdings noch, wie ich das am Besten, formal richtig, aufschreiben soll...

Nun ja, du mußt ja nur zeigen, daß bei dem Vektor $\begin{eqnarray*} (\lambda u_1 + \mu v_1,\lambda u_2 + \mu v_2, \lambda u_3 + \mu v_3,\lambda u_4 + \mu v_4,\lambda u_5 + \mu v_5) \end{eqnarray*}$ die Summe der Komponenten Null ergibt. Das läßt sich doch leicht durch geschicktes Umgruppieren der Summanden bewerkstelligen. smile

21.06.2017, 23:10

LaLiLuLinsky

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RE: Handelt es sich um Unterräume?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von LaLiLuLinsky
Ich überlege allerdings noch, wie ich das am Besten, formal richtig, aufschreiben soll...

Stimmt! Mittlerweile hab ich es auch gesehen! War ja eigentlich gar nicht so schwer... smile

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