Additionstheoreme mit Drehmatrix herleiten

19.06.2017, 14:54

fusion

Additionstheoreme mit Drehmatrix herleiten

Meine Frage:
Hallo ich bin gerade mitten in der mündlichen Abiprüfung und stecke fest.

Zuerst soll ich die Drehmatrix herleiten und anschließend mit dieser Matrix die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus nachweisen. Dies habe ich praktisch schon gemacht, aber verstanden noch nicht so richtig. Zwar sind dort Elemente identisch mit den Additionstheoremen aber da ist doch "viel mehr" als ich benötige - siehe Gleichung 1 und wieso ist das praktisch das gleiche wie (alpha + beta) - siehe Gleichung 2.

Nun ist die dritte Aufgabe für jeden beliebig gedrehten Vektor nachzuweisen das dieser die Bedingungen einer Drehung (im Vergleich zum ursprünglichen Vektor) erfüllt. Welche Bedingungen gibt es denn überhaupt? Ich bin dazu nicht fündig geworden.

Des Weiteren gibt es noch eine vierte Aufgabe die habe ich mir jedoch noch nicht genau angeschaut.

Liebe Grüße.

Meine Ideen:
Wie in dem Anhang 1 gezeigt habe die beiden Matrizen multipliziert, um so den Additionstheoremen näher zukommen.

20.06.2017, 19:19

riwe

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RE: Additionstheoreme mit Drehmatrix herleiten
vesuche es einmal am Einheitskreis Augenzwinkern

21.06.2017, 10:50

Huggy

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RE: Additionstheoreme mit Drehmatrix herleiten

Zitat:

Original von fusion
Zuerst soll ich die Drehmatrix herleiten und anschließend mit dieser Matrix die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus nachweisen. Dies habe ich praktisch schon gemacht, aber verstanden noch nicht so richtig. Zwar sind dort Elemente identisch mit den Additionstheoremen aber da ist doch "viel mehr" als ich benötige - siehe Gleichung 1 und wieso ist das praktisch das gleiche wie (alpha + beta) - siehe Gleichung 2.

Ich würde das so interpretieren: Du hast nachgewiesen, dass man im 2-dimensionalen die Drehung eines beliebigen Vektors $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ um einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch Multiplikation dieses Vektors mit der von dir angegebenen Drehmatrix erreicht und diese Drehmatrix eindeutig ist. Jetzt sollst du daraus die Additionstheoreme herleiten. Es ist zunächst klar, dass die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ einer Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta \end{eqnarray*}$ entspricht und dass die Hintereinanderausführung durch Multiplikation der Drehmatrizen erreicht wird. Damit gibt es zwei Möglichkeiten, die Drehung um einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta \end{eqnarray*}$ zu erreichen, nämlich mit der Drehmatrix des Gesamtwinkels und der Matrix, die sich durch Multiplikation der Drehmatrizen der Einzelwinkel ergibt. Das hast du gemacht. Die beiden sich so ergebenden Matrizen müssen gleich sein und aus der Gleichheit folgen dann die Additionstheoreme.

Zitat:

Nun ist die dritte Aufgabe für jeden beliebig gedrehten Vektor nachzuweisen das dieser die Bedingungen einer Drehung (im Vergleich zum ursprünglichen Vektor) erfüllt. Welche Bedingungen gibt es denn überhaupt? Ich bin dazu nicht fündig geworden.

Dieser Text ist etwas ominös. Ich sehe 2 Interpretationen:

(1) Du sollst zeigen, dass man einen gedrehen Vektor durch eine weitere Drehung wieder in den ursprünglichen Vektor verwandeln kann.

(2) Du sollst zeigen, dass man zwei beliebige Vektoren immer durch eine Drehung ineinander überführen kann. Das gilt allerdings nur, wenn diese Vektoren gleich lang sind, also denselben Betrag (Norm) haben.

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