Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen

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19.06.2017, 23:11

NewMathematiker95

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Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen

Guten Abend zusammen smile

Ich hoffe ihr könnt mir helfen Gott

Habe Frage zu zwei Aufgaben bei denen ich nicht weiter weiß?

Aufgabe 1: (4 Punkte)
$\begin{eqnarray*} K := \left[-1,1\right] \times \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ und die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 12x^{2}y -12xy +4y^{3} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie die lokalen Extremstellen von $\begin{eqnarray*} f: \delta K \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ indem sie den Rand von K mit Hilfe von Verbindungsstrecken parametrisieren. Verbindungstrecke Definition $\begin{eqnarray*} | \gamma | \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left\{| \gamma (t) = a+ t(b-a) : t\in \left[0,1\right] | \right\} \end{eqnarray*}$ a,b sind punkte

Bild der Funktion K im Anhang? wie stellt man das an?

K ist ein Viereck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} \left(-1,-1\right) \left(-1,1\right) \left(1,-1\right) \left(1,1\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen war es die vier strecken auszurechnen und als Nebenbedingung mit einzubeziehen , bloß das Problem ist wir hatten noch kein Lagrange-Multiplikator also dürfen wir das ja nicht anwenden aber wie stell ich das sonst an? Und was nehm ich als a und was als b also zuerst z.b für b= $\begin{eqnarray*} \left(-1,-1\right) \end{eqnarray*}$ und für a= $\begin{eqnarray*} \left(1,1\right) \end{eqnarray*}$ oder ansdersrum?

Nun zur anderen Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left(y-x^{2} \right) \left(y-3x^{2} \right) = y^{2} - 4x^{2} y +3x^{4} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie das f im Ursprung allerdings kein lokales Minimum hat, indem sie das Lokale Verhalten von f nahe $\begin{eqnarray*} \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ untersuchen?

Also ich weiß (siehe Anhang) das die Hessematrix für $\begin{eqnarray*} \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ semidefinit ist mit
0 und 2 als Eigenwert
und so keine Aussage möglich ist, woher weiß mann dann das dort kein lokales Minimu vorliegt= sucht man sich zwei Folgen aus die gegen $\begin{eqnarray*} \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ gehen aber nicht identisch sind und setzten die in $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left(y-x^{2} \right) \left(y-3x^{2} \right) = y^{2} - 4x^{2} y +3x^{4} \end{eqnarray*}$ ein?

Ha

Hoffe ihr könnt mir helfen?

Änhänge sind leider zu groß ...

19.06.2017, 23:31

10001000Nick1

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RE: Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen
Willkommen

im Matheboard! smile

Bei der ersten Aufgabe kannst du die vier Seiten des Quadrats parametrisieren. Diese Parametrisierung setzt du in die Funktion ein und hast dann eine Funktion, die nur noch von einem Parameter abhängt. Deren Extrema kannst du mittels (eindimensionaler) Extremwertberechnung bestimmen.

Zitat:

Original von NewMathematiker95
Zeigen sie das f im Ursprung allerdings kein lokales Minimum hat, indem sie das Lokale Verhalten von f nahe $\begin{eqnarray*} \left(0,0\right) \end{eqnarray*}$ untersuchen?

Es ist f(0,0)=0. Weil die Hessematrix positiv semidefinit ist, kann das nur ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt sein. Um ersteres zu widerlegen, musst du zeigen, dass es in jeder Umgebung von (0,0) einen Punkt mit negativem Funktionswert gibt.

Übrigens besitzt die Funktion $\begin{eqnarray*} t\mapsto f(tv_1, tv_2) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ ein (striktes) lokales Minimum in $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ .

20.06.2017, 00:14

NewMathematiker95

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Hab jetzt die vier verbindungsstrecken parametrisiert

jetzt muss ich ja alle 4 einzelnd einsetzten da alle kann man ja nicht gleichzeitig einsetzten oder ?
Also einmal Verbindungsstrecken 1 einsetzten , dann beim zweiten mal strecke 2 einsetzen und so weiter oder ist das falsch?

20.06.2017, 10:01

10001000Nick1

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Ja, genau.

Etwas Arbeit kannst du dir ersparen, wenn du bemerkst, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 12x^{2}y -12xy +4y^{3} \end{eqnarray*}$ ungerade bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist. Deswegen brauchst du nur bei einer der Seiten $\begin{eqnarray*} [-1,1]\times \{-1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [-1,1]\times \{1\} \end{eqnarray*}$ rechnen und kannst dann daraus schließen, wie die Funktion bei der jeweils anderen Seite aussieht.

20.06.2017, 11:17

NewMathematiker95

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Für die Verbindungstrecke 1 mit $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich für $\begin{eqnarray*} | \gamma | = \begin{pmatrix} -1 \\ 1-2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das in $\begin{eqnarray*} f(\gamma)= 28-64t -16t^{2} \end{eqnarray*}$

2 Verbindungsstrecke mit $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} b = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich für $\begin{eqnarray*} | \gamma | = \begin{pmatrix} -1 +2t \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das in $\begin{eqnarray*} f(\gamma)= -20 + 72t -48t^{2} \end{eqnarray*}$

3 Verbindungstrecke $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hab ich für $\begin{eqnarray*} | \gamma | = \begin{pmatrix} 1 \\ -1+2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das in $\begin{eqnarray*} f(\gamma)= 4 -16t +16t^{2} \end{eqnarray*}$

4 Verbindungsstrecke $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} b = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} | \gamma | = \begin{pmatrix} 1 -2t \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} f(\gamma)= 4 -24t +48t^{2} \end{eqnarray*}$

und davon jetzt ganz normal die extrema bestimmen im eindimensionalen?

20.06.2017, 11:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von NewMathematiker95
das in $\begin{eqnarray*} f(\gamma)= 28-64t -16t^{2} \end{eqnarray*}$

Zum einen ist doch t die Funktionsvariable, zum anderen kann ich nicht erkennen, wie du auf den Funktionsterm gekommen bist.

20.06.2017, 11:32

NewMathematiker95

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für die erste Verbindungsstrecke hab ich ja $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1-2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann hab ich für
x = -1 und für y = (1-2t) eingesetzt in f und aufgelöst

Hätte auch anstatt $\begin{eqnarray*} f(\gamma) auch f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ sagen können wäre besser gewesen ^^

20.06.2017, 11:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von NewMathematiker95
dann hab ich für
x = -1 und für y = (1-2t) eingesetzt in f und aufgelöst

Ich sehe aber noch nicht, wie du auf $\begin{eqnarray*} 28-64t-16t^2 \end{eqnarray*}$ gekommen bist.

20.06.2017, 12:22

NewMathematiker95

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ok hab nen rechenfehler gefunden da bei der ersten strecke

$\begin{eqnarray*} f(-1,1-2t)=12(-1)^{2}(1-2t) -12(-1)(1-2t) + 4(1-2t)^{2}=12(1-2t) - (-12(1-2t)) + 4(1-4t +4t^{2}) = 12 -24t -(-12+24t) +4 -16t +16t^{2}) = 12 -24t +12 -24t +4 -16t +16t^{2} = 28-64t+16t^2 \end{eqnarray*}$

sollte rauskommen ist da richtig?

20.06.2017, 12:42

klarsoweit

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Jetzt mußt du nur noch die Diskrepanz zwischen

Zitat:

Original von NewMathematiker95
$\begin{eqnarray*} f(-1,1-2t)=12(-1)^{2}(1-2t) -12(-1)(1-2t) + 4(1-2t)^{2} \end{eqnarray*}$

und

Zitat:

Original von NewMathematiker95
Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x,y)= 12x^{2}y -12xy +4y^{3} \end{eqnarray*}$

auflösen.

20.06.2017, 12:44

NewMathematiker95

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wie meinst du das kannst du das erklären?

20.06.2017, 12:46

klarsoweit

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Am letzten Term steht einmal ein Quadrat und einmal die Potenz 3.
Mit Brille wäre das nicht passiert. Big Laugh

20.06.2017, 12:47

NewMathematiker95

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ah scheiße sry für die ausdruckweise xD ich rechne nochmal nach ^^

20.06.2017, 13:05

NewMathematiker95

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So habe jetzt raus für erste Verbindungsstrecke

$\begin{eqnarray*} f(\gamma(t))=f(-1,1-2t)= 28 -72t +48t^2 -32t^3 \end{eqnarray*}$

sieht das besser aus?

20.06.2017, 13:27

klarsoweit

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Nachgerechnet habe ich jetzt nicht, aber es sieht zumindest besser aus. Wobei ich auch hoffe, daß der angegebene Funktionsterm für f(x,y) korrekt ist. smile

20.06.2017, 13:38

NewMathematiker95

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Ja danke dir für die anderen Vervindungsstrecken
hab ich 2 mal was mit ner quadratischen Form raus,
da wenn man für y 1 oder -1 einsetzt nichts kubisches für den letzten Term rausbekommt

vielen Dank dir smile

Hast vielleicht auch was zur Aufgabe 2?

20.06.2017, 13:51

klarsoweit

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RE: Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen
Nun ja, wenn man sich mal die Funktion genauer anschaut:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left(y-x^{2} \right) \left(y-3x^{2} \right) = y^{2} - 4x^{2} y +3x^{4} \end{eqnarray*}$

dann liegt ein versteckter Hinweis in der Produktdarstellung. Da stecken nämlich die Parabeln y = x² und y = 3x² drin. Auf einer Kurve, die zwischen diesen Parabeln liegt, sollte die Funktion immer negativ sein (außer natürlich am Nullpunkt).

Jetzt brauchst du nur noch eine geeignete Kurve angeben. Augenzwinkern

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