Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen

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NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen
Guten Abend zusammen smile

Ich hoffe ihr könnt mir helfen Gott
Habe Frage zu zwei Aufgaben bei denen ich nicht weiter weiß?

Aufgabe 1: (4 Punkte)
und die Funktion gegeben durch

Bestimmen sie die lokalen Extremstellen von indem sie den Rand von K mit Hilfe von Verbindungsstrecken parametrisieren. Verbindungstrecke Definition a,b sind punkte

Bild der Funktion K im Anhang? wie stellt man das an?

K ist ein Viereck mit den Eckpunkten

Meine Ideen war es die vier strecken auszurechnen und als Nebenbedingung mit einzubeziehen , bloß das Problem ist wir hatten noch kein Lagrange-Multiplikator also dürfen wir das ja nicht anwenden aber wie stell ich das sonst an? Und was nehm ich als a und was als b also zuerst z.b für b= und für a= oder ansdersrum?

Nun zur anderen Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion durch

Zeigen sie das f im Ursprung allerdings kein lokales Minimum hat, indem sie das Lokale Verhalten von f nahe untersuchen?

Also ich weiß (siehe Anhang) das die Hessematrix für semidefinit ist mit
0 und 2 als Eigenwert
und so keine Aussage möglich ist, woher weiß mann dann das dort kein lokales Minimu vorliegt= sucht man sich zwei Folgen aus die gegen gehen aber nicht identisch sind und setzten die in ein?

Ha

Hoffe ihr könnt mir helfen?

Änhänge sind leider zu groß ...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen
Willkommen im Matheboard! smile

Bei der ersten Aufgabe kannst du die vier Seiten des Quadrats parametrisieren. Diese Parametrisierung setzt du in die Funktion ein und hast dann eine Funktion, die nur noch von einem Parameter abhängt. Deren Extrema kannst du mittels (eindimensionaler) Extremwertberechnung bestimmen.

Zitat:
Original von NewMathematiker95
Zeigen sie das f im Ursprung allerdings kein lokales Minimum hat, indem sie das Lokale Verhalten von f nahe untersuchen?

Es ist f(0,0)=0. Weil die Hessematrix positiv semidefinit ist, kann das nur ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt sein. Um ersteres zu widerlegen, musst du zeigen, dass es in jeder Umgebung von (0,0) einen Punkt mit negativem Funktionswert gibt.

Übrigens besitzt die Funktion für jedes ein (striktes) lokales Minimum in .
 
 
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt die vier verbindungsstrecken parametrisiert

jetzt muss ich ja alle 4 einzelnd einsetzten da alle kann man ja nicht gleichzeitig einsetzten oder ?
Also einmal Verbindungsstrecken 1 einsetzten , dann beim zweiten mal strecke 2 einsetzen und so weiter oder ist das falsch?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.

Etwas Arbeit kannst du dir ersparen, wenn du bemerkst, dass ungerade bzgl. ist. Deswegen brauchst du nur bei einer der Seiten und rechnen und kannst dann daraus schließen, wie die Funktion bei der jeweils anderen Seite aussieht.
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Verbindungstrecke 1 mit und hab ich für
das in


2 Verbindungsstrecke mit hab ich für
das in

3 Verbindungstrecke hab ich für das in

4 Verbindungsstrecke und für und für

und davon jetzt ganz normal die extrema bestimmen im eindimensionalen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NewMathematiker95
das in

Zum einen ist doch t die Funktionsvariable, zum anderen kann ich nicht erkennen, wie du auf den Funktionsterm gekommen bist.
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

für die erste Verbindungsstrecke hab ich ja raus = und dann hab ich für
x = -1 und für y = (1-2t) eingesetzt in f und aufgelöst

Hätte auch anstatt sagen können wäre besser gewesen ^^
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NewMathematiker95
dann hab ich für
x = -1 und für y = (1-2t) eingesetzt in f und aufgelöst

Ich sehe aber noch nicht, wie du auf gekommen bist.
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab nen rechenfehler gefunden da bei der ersten strecke



sollte rauskommen ist da richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt mußt du nur noch die Diskrepanz zwischen
Zitat:
Original von NewMathematiker95


und
Zitat:
Original von NewMathematiker95
Funktion gegeben durch

auflösen. Augenzwinkern
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das kannst du das erklären?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Am letzten Term steht einmal ein Quadrat und einmal die Potenz 3.
Mit Brille wäre das nicht passiert. Big Laugh
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

ah scheiße sry für die ausdruckweise xD ich rechne nochmal nach ^^
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

So habe jetzt raus für erste Verbindungsstrecke



sieht das besser aus?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nachgerechnet habe ich jetzt nicht, aber es sieht zumindest besser aus. Wobei ich auch hoffe, daß der angegebene Funktionsterm für f(x,y) korrekt ist. smile
NewMathematiker95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke dir für die anderen Vervindungsstrecken
hab ich 2 mal was mit ner quadratischen Form raus,
da wenn man für y 1 oder -1 einsetzt nichts kubisches für den letzten Term rausbekommt

vielen Dank dir smile


Hast vielleicht auch was zur Aufgabe 2?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Lokale Extremstellen auf Kompakten/nicht Kompakten Mengen
Nun ja, wenn man sich mal die Funktion genauer anschaut:



dann liegt ein versteckter Hinweis in der Produktdarstellung. Da stecken nämlich die Parabeln y = x² und y = 3x² drin. Auf einer Kurve, die zwischen diesen Parabeln liegt, sollte die Funktion immer negativ sein (außer natürlich am Nullpunkt).

Jetzt brauchst du nur noch eine geeignete Kurve angeben. Augenzwinkern
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