Frenetsche Formeln und Umparametrisierung auf Bogenlänge

20.06.2017, 09:11

Jules__

Frenetsche Formeln und Umparametrisierung auf Bogenlänge

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe mir selbst das Thema Kurven im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{x} \end{eqnarray*}$ erarbeitet. Habe aber jetzt noch ein paar Fragen und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.

Meine Ideen:
1. Frage:
$\begin{eqnarray*} Es ~gilt: |x(t)|^2 = x(t) \cdot x(t)~und~ |x(t)| = const ~~( t \in I ~und~ x: I \rightarrow \mathbb{R}^n ~eine ~vektorwertige ~Funktion). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Der~Vektor~ x(t) ~und ~seine ~erste ~Ableitung ~stehen ~senkrecht ~aufeinander, ~weil ~ihr ~Skalarprodukt ~Null ~ist \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(t) \cdot \dot{x}(t)= 0 ~(fuer ~alle~ x \in I ). \end{eqnarray*}$

Mir wurde jetzt gesagt, dass $\begin{eqnarray*} |x(t)| = const \end{eqnarray*}$ nicht für beliebige x(t) gilt.
Wann gilt dies denn nicht?

2. Frage:
Kann man sagen (auch wenn dies eher ummathematisch klingt), dass eine Umparametrisierung auf Bogenlänge einfach nur eine Erleichterung beim Rechnen bietet?

3. Frage:
Frenetsche Formeln - Die Beweise und Rechnungen zu den Frenetschen Formeln sind mir soweit klar. Allerdings habe ich noch nicht so wirklich verstanden, was mir diese überhaupt bringen? Sind dies auch einfach nur Beziehungen, die das Rechnen erleichtern?

4. Frage:
$\begin{eqnarray*} Die ~zum ~Parameterwert ~t \in [a,b] ~eines ~regulaeren ~Kurvenstuecks ~ x:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n ~ bestimmte ~ Zahl \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(t) :=\int_{a}^{t} | \dot{x}(\tau)|~d \tau ~heißt~Bogenlaenge ~des ~Kurvenstuecks ~ueber ~[a,t]. \end{eqnarray*}$
Wie muss ich a wählen? Kann dies beliebig sein?

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen. Danke schon einmal für Anregungen und Tipps smile

20.06.2017, 10:10

Ehos

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Zu Frage 1:
Die Kurve $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ kann man als Bahnkurve einer Stubenfliege interpretieren. Wenn der Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec x(t)| \end{eqnarray*}$ konstant ist, also $\begin{eqnarray*} \vec x^2(t)=C \end{eqnarray*}$ , dann liegt die Bahnkurve der Fliege auf einer Kugeloberfläche. Die 1.Ableitung $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x}(t) \end{eqnarray*}$ ist der momentane Geschwindigkeitsvektor. Dieser liegt stets tangential zur Kugelfläche, also senkrecht zum momentanern Ort $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ der Fliege. Beweis: Differenzieren von $\begin{eqnarray*} \vec x^2(t)=C \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 2\dot{\vec x}\cdot \vec x=0 \end{eqnarray*}$ .
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Frage 2:
Ja, die Umparametrieisung auf Bogenlänge macht die Rechnung einfacher und die Interpretation vieler Eigenschaften der Kurve klarer. Das ist die Motivation.
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Frage 3:
Die Frenetschen Formeln besagen im Prinzip, dass man allein aus der Kennnis der Krümmung $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ und der Torsion $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ die gesamte Kurve eindeutig bestimmen kann (bis auf einer Veschiebung oder Drehung der Kurve im Raum)
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Frage 4
Die Zahl $\begin{eqnarray*} a=t_1 \end{eqnarray*}$ gibt lediglich an, zu welcher Uhrzeit die Stubenflieg abfliegt. Durch Umstellen der Uhr (also durch Umparametrisiereung) kann man stets erreichen, dass gilt $\begin{eqnarray*} a=t_1=0 \end{eqnarray*}$ . Für das geometrische Aussehen der Bahnkurve $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ ist das ohne Bedeutung.
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20.06.2017, 10:46

Jules__

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Okay, Danke für deine schnelle Antwort und auch für das gute anschauliche Beispiel smile

.

Nun habe ich noch zwei weitere Fragen:
Ich möchte mit der Gruppe, denen ich einen kleinen Einblick in das Thema Kurven im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ geben möchte auch eine Aufgabe zu den Frenetschen Formeln durchgehen.
Aufgabe: Logarithmische Spirale
Die Raumkurve
$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^t cos t \\ e^t sin t \\ e^t \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt auf dem Kegel $\begin{eqnarray*} 2x^2+2y^2-z^2=0. \end{eqnarray*}$

Wegen
$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t)= \frac{1}{2} e^t \begin{pmatrix} cos t - sin t\\ sin t + cos t\\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist
$\begin{eqnarray*} s(t) =\int_{-\infty }^{t} | \dot{x}(\tau)|~d \tau = e^t ~,~d.h.~t = ln(s), s>0 \end{eqnarray*}$ .
Mit der Bogenlänge als Parameter erhält man aus der Darstellung
$\begin{eqnarray*} y(s)=\frac{1}{2}s \begin{pmatrix} cos ~ ln s\\ sin ~ ln s\\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit s>0:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ds}T = \frac{1}{2s} \begin{pmatrix} -sin ~ln s - cos ~ln s\\ cos ~ln s - sin ~ln s\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1) Ist das dann bei dieser Aufgabe zum Demonstrieren der Frenetschen Formeln sinnvoll, dass man zu zeigt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{ds}T \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} \kappa ~N \end{eqnarray*}$ ist?
2) Warum wurde hier jetzt beim Integral $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ gewählt?

20.06.2017, 13:06

Ehos

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Frage 1:
Zum Demonstrieren der Frenetschen Formeln würde ich eine einfacherer Kurve nehmen, z.B. eine Schraubenlinie. Aber im Prinzip kann man deine Kurve nehmen.
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Frage 2:
Die Bogenlänge deiner Kurve ist für ein beliebiges Zeitintervall $\begin{eqnarray*} t \in [a;b] \end{eqnarray*}$ wäre das Integral

$\begin{eqnarray*} s=\int_a^be^t\,dt=e^b-e^a \end{eqnarray*}$ .

Wenn man als untere Integrationsgrenze den Wert $\begin{eqnarray*} a=-\infty \end{eqnarray*}$ wählt, vereinfacht sich das obige Integral wegen $\begin{eqnarray*} e^a=e^{-\infty}=\tfrac{1}{e^{\infty}}=0 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} s=\int_{-\infty}^b e^t\,dt=e^b \end{eqnarray*}$

Geometrisch bedeutisch bedeutet das folgendes: Deine Kurve ist eine "Schneckenkurve", deren Radius (=Abstand zur z-Achse) exponentiell mit dem Parameter t anwächst. Für $\begin{eqnarray*} t=-\infty \end{eqnarray*}$ verschwindet der Radius. Das zweite Integral (Siehe oben) ist also die Bogenlänge der Schneckenkurve beginnend vom Zentrum (x;y;z)=(0;0;0) mit dem Radius=0 bis zu einem beliebigen Endpunkt mit dem Parameter t=b.

20.06.2017, 14:25

Jules__

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Alles klar. Meine 2. Frage habe ich verstanden.

Ja, an die Schraubenlinie hab ich auch schon gedacht, aber irgendwie kam ich da auch nicht richtig weiter…
Könntest du da auch nochmal schauen?

$\begin{eqnarray*} x(t)= \begin{pmatrix} r~cos~~t \\ r~sin~t \\ ht \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 0 \le t \le 2 \pi n \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Radius, $\begin{eqnarray*} 2 \pi h \end{eqnarray*}$ die Ganghöhe und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Windungszahl.

Abkürzung: $\begin{eqnarray*} R:= |\dot{x}(t)|= \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) = \begin{pmatrix} -r~sin~~t \\ r~cos~t \\ h \end{pmatrix} \Rightarrow \ddot{x}(t) = \begin{pmatrix} -r~cos~~t \\ -r~sin~t \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \dddot{x}(t) = \begin{pmatrix} r~sin~~t \\ -r~cos~t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(t)= \frac{1}{R} \cdot \begin{pmatrix} -r~sin~~t \\ r~cos~t \\ h \end{pmatrix} , ~ B(t) = \frac{1}{R}~\begin{pmatrix} h~sin~~t \\ -h~cos~t \\ r \end{pmatrix} ,~ N(t) = \begin{pmatrix} -cos~~t \\ -sin~t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \kappa(t)= \frac{r}{r^2+h^2} ,~ \tau(t)= \frac{h}{r^2+h^2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich alles berechnet.

Wenn ich jetzt mit diesem Beispiel die Frenteschen Formeln demonstrieren möchte, dann muss ich ja als erstes mal die Umparametrisierung auf Bogenlänge vornehmen, oder?

D. h. also:
$\begin{eqnarray*} s(t) =\int_{a}^{t} | \dot{x}(\tau)|~d \tau \end{eqnarray*}$
Ich weiß:
$\begin{eqnarray*} | \dot{x} | = \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$

Nur jetzt habe ich leider schon wieder Probleme mit den Integralgrenzen.
Hier fällt ja jetzt nicht so einfach, wie bei der e-Funktion, etwas weg...

20.06.2017, 20:05

Jules__

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Fehlt noch eine wichtige Information oder stehe ich jetzt komplett auf dem Schlauch, dass dies eigentlich sehr einfach wäre?

21.06.2017, 09:10

Ehos

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Die Schraubenlinie lautet

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ h\cdot \phi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kurvenparameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist der Drehwinkel. h ist der Vortrieb in z-Richtung (pro Umdrehung). Die Bogenlänge ist folgendes Integral mit konstantem Integrand, das man leicht integrieren kann:

$\begin{eqnarray*} s=\int_{\phi_0}^{\phi}\sqrt{r^2+h^2}\,d\phi=\sqrt{r^2+h^2}\cdot ( \phi-\phi_0) \end{eqnarray*}$

Man kann die Schraubenlinie stets so im Raum drehen, dass der Anfangswinkel den Wert $\begin{eqnarray*} \phi_0=0 \end{eqnarray*}$ hat. Dann bekommt man die Bogenlänge der Schraubenkurve

$\begin{eqnarray*} s=\sqrt{r^2+h^2}\cdot \phi \end{eqnarray*}$

Die Bogenlänge ist also proportional zum Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (=Kurvenparameter). (Bei den meisten anderen Kurven ist das nicht so einfach proportional!) Indem man die letzte Formel nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ umstellt und in die obige Schraubenlinie einsetzt, ergibt sich die bogenlängenparametriesrte Schraubenline

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ r\cdot \sin\left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ h\cdot \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus kann man die Krümmung, die Torsion sowie den Tangentialvektor, den Hauptnormalenvektor, den Binormalenvektor und deren 3 Ableitungen formal ausrechnen. Dann kann man die Frenetschen Formeln formal hinschreiben und diese durch Nachrechnen überprüfen, was ich dir überlasse.

21.06.2017, 17:35

Jules__

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Danke, dass du mir weiter hilfst..

Noch vorab eine zwei kurze Fragen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ r\cdot \sin\left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ h\cdot \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Frage: Müsste hier nicht $\begin{eqnarray*} x(s) \end{eqnarray*}$ hin, weil der Vektor von s abhängig ist?

1. Frage: Ist dann $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ das gleiche, wie die Zeit t, die innerhalb eines Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ zurückgelegt wird? Ich habe nämlich zu Beginn Aufgaben, wo von der Schraubenlinie B, N und T ausgerechnet werden sollen, aber alles in Abhängigkeit von t.

Die drei Ableitungen müssten entsprechend so aussehen:
Abkürzung: $\begin{eqnarray*} R:= |\dot{x}(t)|= \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$

Das müsste doch bis jetzt stimmen, oder?
$\begin{eqnarray*} \dot{x}(s) = \begin{pmatrix} -r~sin~~\frac{s}{R} \\ r~cos~\frac{s}{R} \\ \frac{h}{R} \end{pmatrix} \Rightarrow \ddot{x}(s) = \begin{pmatrix} -r~cos~~\frac{s}{R} \\ -r~sin~\frac{s}{R} \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \dddot{x}(s) = \begin{pmatrix} r~sin~\frac{s}{R}\\ -r~cos~\frac{s}{R} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Tangentialvektor T muss ja jetzt nicht mehr normiert werden, da durch die Umparametrisierung dieser bereits die Länge 1 hat.
$\begin{eqnarray*} Somit~ ist~ T(s) = \dot{x}(s) = \begin{pmatrix} -r~sin~~\frac{s}{R} \\ r~cos~\frac{s}{R} \\ \frac{h}{R} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.06.2017, 09:07

Ehos

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Frage 1:
Ja, es muss heißen $\begin{eqnarray*} \vec x(s) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ . Das war ein Schreibfehler meinerseits.

Frage 2:
Ich habe anstelle des Kurvenparameters t den Parameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gewählt. Aus mathematischer Sicht ist das vollkommen gleichgültig. Anschaulich könnte man den Parameter als Drehwinkel interpretieren oder als Zeit, wobei die Winkelgeschwindigkeit den Wert $\begin{eqnarray*} \omega=\tfrac{1}{\text{sec}}=\tfrac{0,159 \text{ Umdrehungen}}{\text{sec}} \end{eqnarray*}$ hat.

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Deine Ableitungen sind nicht korrekt. Die Schraubenlinie hat die Gestalt

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} r\cdot \cos \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ r\cdot \sin \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ h \cdot \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim Ableiten musst du die Kettenregel verwenden, so dass der Faktor $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{\sqrt{r^2+h^2}} \end{eqnarray*}$ vor die Winkelfunktionen hinzukommt, also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{ds}=\begin{pmatrix} -\tfrac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot \sin \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ \tfrac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}\cdot \cos \left ( \tfrac{s}{\sqrt{r^2+h^2}}\right ) \\ \tfrac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der 2. und 3.Ableitung kommt der gleiche Faktor nochmals hinzu usw.

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