Notation mit Wahrscheinlichkeit eins

20.06.2017, 13:45	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
Notation mit Wahrscheinlichkeit eins Ich beziehe mich auf diese Definition: Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel mit der Wahrscheinlichkeit eins* zum gleichen Ergebnis führen.* Als Nicht-Mathematiker verstehe ich nicht, wieso man nicht einfach schreiben kann Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel gleich sind. Ich würde naiverweise den Begriff Mittel als Erwartungswert verstehen - und der ist entweder gleich oder ungleich zu einem anderen Erwartungswert. Was meint man mathematisch mit dieser Formulierung genau? Scheinbar hat das mit dem Begriff "fast sicher" zu tun, den ich nicht so ganz verstanden habe. Was heißt das konkret für das angesprochene Zeitmittel? Dieses kann scheinbar keine einfache Zahl sein, denn ansonsten könnte man ja von strikter Gleichheit sprechen. Es ist irgendwie gemeint "die beiden Werte sind 100% gleich, obwohl deren Ungleichheit nicht auszuschließen ist." Das ergibt keinen Sinn für mich.
20.06.2017, 14:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um stochastische Prozesse, betrachten wir z.B. mal eine unendlich lange Kette von Würfelergebnissen $\begin{align} X_1,X_2,\ldots \end{align}$ . Dann ist Scharmittel $\begin{align} E[X_k] = 3.5 \end{align}$ beim konkreten k-ten Wurf dieser Kette, aber andererseits können wir Zeitmittel $\begin{align} \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \end{align}$ betrachten. Letzteres ist eine Zufallsgröße, für die nach Gesetz der großen Zahlen $\begin{align} \bar{X}_n \to 3.5 \end{align}$ für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ fast sicher gilt, bzw. ausführlich geschrieben $\begin{align} P\left( \left\{\omega: \; \lim_{n\to\infty} \bar{X}_n(\omega) = 3.5 \right\} \right) = 1 \end{align}$ . Aber es gilt eben nicht $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \bar{X}_n(\omega) = 3.5 \end{align}$ für alle $\begin{align} \omega \end{align}$ , z.B. könnte man ja ständige Sechsen würfeln. Klar, eine unendlich lange Kette an Sechsen passiert nur mit Wahrscheinlichkeit 0, aber das ist nicht unmöglich (d.h., es gibt schon noch ein passendes $\begin{align} \omega \end{align}$ dafür). Ich hoffe, damit ist klar, warum man oben bei der Formulierung vorsichtig sein muss.
20.06.2017, 14:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind die Paradoxien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. "Sicher" bedeutet nicht dasselbe wie "Wahrscheinlichkeit 1", ebensowenig wie "unmöglich" "Wahrscheinlichkeit 0" bedeutet. Zur Erklärung kann der Vergleich mit Inhalten in der Geometrie dienen. Stell dir ein Quadrat mit Kantenlänge 1 vor. Es hat folglich den Flächeninhalt 1. Jetzt denkst du dir im Quadrat eine Strecke, die senkrecht auf einer Kante steht und zur gegenüberliegenden Kante führt. Die Strecke hat die Länge 1 und die Breite 0, also den Flächeninhalt 0. Zu dieser Stecke gibt es im Quadrat parallele Strecken. Alle diese parallelen Strecken füllen das Quadrat vollständig aus. Jede dieser Strecken hat den Flächeninhalt 0, alle Strecken zusammen besitzen aber den Flächeninhalt 1. Das ist doch paradox, nicht wahr? Das gesamte Quadrat kannst du als das sichere Ereignis ansehen. Eine Strecke wie oben beschrieben steht für ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0, welches aber nicht das unmögliche Ereignis ist. Und wenn du aus dem Quadrat eine solche Strecke entfernst, ist das wie ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1, welches aber nicht das sichere Ereignis ist.
20.06.2017, 16:51	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

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