Jacobi-Matrizen & Totale Differenzierbarkeit

21.06.2017, 11:23

dubbox

Jacobi-Matrizen & Totale Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Ich bräuchte Hilfe bei zwei Themen.

Jacobi-Matrizen:
Gegeben seien die Abbildungen
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2,f(x,y,z)= \begin{cases}ysin(z) \\x+y \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3,g(u,v)= \begin{cases}u+v \\v^2 \\uv \end{cases} \end{eqnarray*}$

Berechnen sie die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} h=f\otimes g \end{eqnarray*}$ (verkettung) auf zwei verschiedene Arten:
i. Mit der Kettenregel
ii. Berechnen sie zuerst $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und differenzieren sie anschließend.

totale Differenzierbarkeit:
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\cdot sin(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}}) & \text{für } (x,y)\not = (0,0) \\ 0 & \text{sonst. }\end{cases} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass

a) die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac {\varrho f}{\varrho x},\frac {\varrho f}{\varrho y} \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ existieren,

b) die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac {\varrho f}{\varrho x},\frac {\varrho f}{\varrho y} \end{eqnarray*}$ nicht stetig sind, aber

c) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ total differenzierbar ist.

Hinweis: Verwenden sie in Aufgabenteil (b) eine Folge der Form $\begin{eqnarray*} x_n=\frac 1 {2 \pi n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jacobi-Matrizen:

i)
Kettenregel: $\begin{eqnarray*} h(x)=f(g(x)) \rightarrow h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Also rechne ich zuerst mal die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} g(u,v) \end{eqnarray*}$ aus.

$\begin{eqnarray*} \frac d {du}g(u,v)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac d {dv}g(u,v)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2v \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J_g(u,v)=\begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 2v \\ v && u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt die von $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx}f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac d {dy}f(x,y,z)=\begin{pmatrix} sin(z) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac d {dz}f(x,y,z)=\begin{pmatrix} ycos(z)\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J_f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 0 && sin(z) && ycos(z) \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{f\otimes g}(x,y,z)=J_f(g(u,v)) \cdot J_g(u,v) = (\begin{pmatrix} 0 && sin(uv) && v^2cos(uv) \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u+v \\ v^2 \\ uv \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 2v \\ v && u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(uv)\cdot v^2 + v^2cos(uv) \cdot uv \\ u+v+v^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 2v \\ v && u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So würde das aber nicht gehen, ich müsste es so aufschreiben damit ein Ergebnis zustande kommt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 2v \\ v && u \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sin(uv)\cdot v^2 + v^2cos(uv) \cdot uv \\ u+v+v^2 \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix} sin(uv)\cdot v^2 + v^2cos(uv) \cdot uv + u+v+v^2 \\ 2v(u+v+v^2) \\ v(sin(uv)\cdot v^2 + v^2cos(uv) \cdot uv) + u(u+v+v^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber geht das wirklich so, eigentlich müsste ich doch wieder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ enden oder? Ist ja ein ziemliches wirrwar :/

ii)

Hier berechne ich zuerst $\begin{eqnarray*} h(u,v) = f(g(u,v)) = \begin{pmatrix} v^2(sin(uv) \\ u+v+v^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {du}h(u,v)=\begin{pmatrix} v^3cos(uv) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac d {dv}h(u,v)=\begin{pmatrix} 2vsin(uv)+uv2cos(uv) \\ 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J_h(u,v)=\begin{pmatrix} v^3cos(uv) && 2vsin(uv)+uv2cos(uv) \\ 1 && 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was irgendwie wesentlich korrekter/simpler aussieht Big Laugh

totale Differenzierbarkeit:

Hier bin ich nach der anderen Aufgabe so in einer Denkblockade dass ich grad nicht wirklich weis wie ich die a) überhaupt angehe. Ich denke mit a) und b) wird sich die c) dann ergeben aber zu diesen habe ich keine Ahnung unglücklich

21.06.2017, 11:32

IfindU

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RE: Jacobi Matrizen & Totale Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} J_{f\otimes g}(x,y,z)=J_f(g(u,v)) \cdot J_g(u,v) = (\begin{pmatrix} 0 && sin(uv) && v^2cos(uv) \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u+v \\ v^2 \\ uv \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 2v \\ v && u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der erste Faktor ist $\begin{eqnarray*} J_f(g(u,v)) \end{eqnarray*}$ , der letzte ist $\begin{eqnarray*} J_g(u,v) \end{eqnarray*}$ . Fragt sich was der mittlere Faktor ist verwirrt

21.06.2017, 14:50

dubbox

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Upps, ich dachte da irgendwie daran, dass

$\begin{eqnarray*} f \otimes g \end{eqnarray*}$ hier aus der Matrixmultiplikation hervorgeht aber im Prinzip ist es ja durch

$\begin{eqnarray*} J_f(g(u,v)) = (\begin{pmatrix} 0 && sin(uv) && v^2cos(uv) \\ 1 && 1 && 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schon getan oder?

21.06.2017, 14:54

IfindU

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Richtig. Und kurzes ausmultiplizieren liefert das gleiche wie das Ergebnis bei der Berechnung ohne Kettenregel.

Uebrigens wird die Verkettung ueblicherweise mit \circ notiert.

21.06.2017, 16:14

dubbox

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Ja genau, super dann ist die aufgabe auch fertig smile

Nach dem \circ hab ich schon gesucht gehabt Big Laugh

jetzt weiß ichs danke

Weißt du einen ansatz für die 2te aufgabe?

21.06.2017, 16:35

IfindU

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Wie üblich ist die Funktion wunderschön für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ . Da kann man einfach Kettenregel anwenden um die partiellen Ableitungen zu bestimmen, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ stetig sind, und damit total differenzierbar.

Interessant ist also nur $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$ . Die partiellen Ableitungen musst du mit den Differentialquotienten per Hand ausrechnen, was ein klassisches ein-dimensionales Problem ist. Dann kannst du nachweisen, dass die partiellen Ableitungen in der 0 nicht stetig sind.

Die totale Differenzierbarkeit rechnest du mit der Definition nach. Beachte, dass die Jacobi-Matrix, sofern sie existiert, immer aus den partiellen Ableitungen aufgebaut ist. Das ist der einzige Kandidat, und es bleibt nachzuweisen, dass "der" Grenzwert der Definition verschwindet.

22.06.2017, 09:38

dubbox

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Also ich habe jetzt erst mal die ersten partiellen Ableitungen bestimmt mit $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} f(x,y) = 2x\cdot sin(\frac 1 { \sqrt{x^2+y^2}})-\frac {x \cdot cos(\frac 1 {\sqrt{x^2+y^2}})} {\sqrt{x^2+y^2}} =\frac d {dy}f(x,y) \end{eqnarray*}$ sollten ja gleich sein, wenn ich mich da nicht irre.

Bei uns folgt die stetigkeit aus der totalen differenzierbarkeit, wie zeige ich jetzt, dass diese in jedem Punkt existieren? Für den kritischen Fall von (0,0) sind wir ja gewappnet. Dort ist doch auch die Ableitung einfach 0. Meinst du wegen dem 1-dimensionalen das wenn wir haben (x,0) oder (0,y)?

Stehe hier einfach etwas auf dem Schlauch, $\begin{eqnarray*} \frac {\varrho f}{\varrho x},\frac {\varrho f}{\varrho y} \end{eqnarray*}$ ist für mich auch eine neue art eine partielle Ableitung zu bezeichnen. Wieso ich das bei b) verwenden soll laut hinweis ergibt sich mir auch noch nicht, hängt aber wohl mit dem sin und cos zusammen?

22.06.2017, 10:38

IfindU

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Die Funktion ist radialsymmetrisch, daher ist $\begin{eqnarray*} \frac{ \partial} {\partial x} f = \frac{ \partial} {\partial y} f \end{eqnarray*}$ .

Und du willst nicht die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zeigen. Das wuerde wirklich aus der Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgen, ist aber trivial. Du willst die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zeigen. Daraus folgt sofort totale Differenzierbarkeit. Wenigstens gilt das auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ .

Die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der 0 ist nach Definition
$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial} {\partial x} f(0) = \lim_{h\to 0} \frac { f(h, 0) - f(0,0)} h \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein eindimensionaler Differentialquotient. Der Grenzwrt ist tatsaechlich 0, aber muss man nachrechnen.

Damit ist die totale Ableitung, falls sie existiert, in der 0 selbst die 0. Damit es total differenzierbar ist, musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac { f(h_1, h_2) - f(0,0) } { |(h_1, h_2)|} \to 0 \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und zu b) Du hast die partiellen Ableitungen in der 0, du hast sie ausserhalb der 0. Du willst zeigen, dass die partiellen Ableitungen nicht stetig in der 0 sind, also findest du eine Nullfolge, so dass $\begin{eqnarray*} f(x_n, y_n) \not\to f(0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Daher der Hinweis.

22.06.2017, 11:19

dubbox

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Okay ich probiere mich mal heran zu trasten, da ich bei mehrdimensionalen Funktionen und Stetigkeit nicht so sicher bin.
Sollte ich hier mit dem Epsilon-Delta-Kriterium probieren eine Abschätzung zu treffen oder gibt es einen kniff bei der sache? Finde hier eine Abschätzung echt Unübersichtlich traurig

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial} {\partial x} f(0) = \lim_{h\to 0} \frac { f(h, 0) - f(0,0)} h \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein eindimensionaler Differentialquotient. Der Grenzwrt ist tatsaechlich 0, aber muss man nachrechnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial} {\partial x} f(0) = \lim_{h\to 0} \frac { f(h, 0) - f(0,0)} h = \lim_{h\to 0}\frac { h^2 \cdot sin(\frac 1 {\sqrt {h^2}})} h= \lim_{h\to 0} \frac {h^2 \cdot sin(\frac 1 h)} h \end{eqnarray*}$ Jetzt L'Hospital anwenden?

Bzw. ich bekomme da doch immer wieder einen Nullteiler oder? Bin grade etwas verwirrt wenn ich da jetzt L'Hospital anwende...

22.06.2017, 11:28

IfindU

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} f] \end{eqnarray*}$ ist nur eine riesige Verkettung von einfachen, stetigen Funktionen. Du kannst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g_1(x,y) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(x,y) = y \end{eqnarray*}$ stetig sind. Dann ist das Produkt und Summe davon stetig. D.h. $\begin{eqnarray*} g_1^2 + g_2^2 \end{eqnarray*}$ ist stetig, und das ist $\begin{eqnarray*} (g_1^2 + g_2^2)(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ . Dann sind die eindimensionalen Funktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac 1 x \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sqrt x \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ . Damit bekommst du sofort, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt { x^2 + y^2 } } \end{eqnarray*}$ stetig ist auf $\begin{eqnarray*} \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 > 0 \} \end{eqnarray*}$ . Fehlt nur noch der Sinus, der stetig ist.

D.h. das einzige wirklich zweidimensionale was nachzupruefen ist, ist $\begin{eqnarray*} g_1, g_2 \end{eqnarray*}$ . Und das kann man wirklich per Hand machen, wenn du willst.

Zum Differenzenquotient: Du koenntest ja mal einfach das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ rauskuerzen...

23.06.2017, 08:45

dubbox

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Okay beim Differenzenquotienten ist es dann klar, der Grenzwert ist also 0 wenn $\begin{eqnarray*} h\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Für die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g_1(x,y)=x \end{eqnarray*}$ sollte ja gelten $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \Leftrightarrow|g_1(x,y) - g_1(x_0,y_0)| < \delta \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} g_1(x,y)=x \land g_1(x_0,y_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ selbes gilt für $\begin{eqnarray*} g_2(x,y)=y \end{eqnarray*}$ somit sind beide stetig.
Somit ist dann $\begin{eqnarray*} (g_1^2+g_2^2)(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ stetig und die Division ist stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ und die Wurzelfunktion auf alle positiven Zahlen.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac 1 {\sqrt{ x^2 + y^2}} \end{eqnarray*}$ ist stetig, ebenso ist der Sinus nach Skript stetig.
Um das mal nachzuplappern Big Laugh

Nur was bringt mir das jetzt im Sinne der Aufgabenstellung a) b) c)? Oder kann ich daraus etwas über die partiellen Ableitungen schließen?

23.06.2017, 10:42

IfindU

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Du kannst das gleiche Argument ja verwenden, um die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ausserhalb der 0 zu begruenden. Aus stetig partiell differenzierbar folgt total differenzierbar. Und damit hast du fuer c) schon fast ueberall gezeigt -- bleibt nur die 0 separat zu untersuchen.

Alternativ kannst du "stetig" in dem Argument durch "stetig (total) differenzierbar" ersetzen und damit folgt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig (total) differenzierbar ist.

Aber a) hast du ja jetzt. Die partiellen Ableitungen existieren ueberall. Bleibt b): Zeige, dass diese nicht stetig sind. Dafuer ist ja der Hinweis da.

Es bleibt fuer c) zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ total differenzierbar ist.

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