Monotonie und Krümmung bestimmen

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Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie und Krümmung bestimmen
Hallo! Wink

Ich sitze vor einer etwas längeren Aufgabe und komme leider nicht weiter. Ich muss diverse Intervalle in den Teilaufgaben bestimmen und damit tue ich mich leider noch sehr schwer. traurig

Gegeben ist die Funktion , wobei gilt.

Aufgabe a) hier soll ich die erste und die zweite Ableitung bestimmen. Das war kein Problem. Hier erhalte ich: und

b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle auf denen f monoton steigt bzw. fällt.
Ich weiß, dass f monoton steigt bzw. fällt, wenn ist.

Muss ich nun die erste Ableitung gleich Null setzen oder größer gleich bzw. kleiner gleich Null?

c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist.
Auch hier kenne ich die Bedingungen. f ist konvex bzw. konkav wenn, ist.

Auch hier wieder die Frage, muss ich zweite Ableitung gleich Null setzen oder größer gleich bzw. kleiner gleich Null?

d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen die Funktion von f progressiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend.

Selbe Sache wie zuvor, ich kenne die Definitionen, weiß aber nicht wirklich wie ich diese anwenden muss.

progressiv wachsend:
degressiv wachsend:
progressiv fallend:
degressiv fallend:


Ich bin für jeden Rat sehr dankbar und hoffe, dass man die ganzen Formeln richtig lesen kann!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Monotoniewechsel und Krümmungswechsel findet an den Nullstellen der ersten bzw. zweiten Ableitung direkt statt, also kannst du die Gleichungen mit "=" anschreiben.
Damit werden dazwischen die entsprechenden Intervalle erzeugt.
Der Wechsel von degressiv bzw. progressiv wachsend findet immer im Wendepunkt statt.



mY+
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann fange ich einfach mal mit der b) an. Wenn ich die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt, erhalte ich +1 und -1. Anhand deiner Grafik passt das auch ganz gut denke ich. Diese Werte sagen mir ja nun, dass sich an dieser Stelle eben was im Monotonieverhalten ändert, richtig?
Aber was muss ich nun tun um die Intervalle anzugeben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du teilst - nach den Lösungen - daher den Definitionsbereich in 3 Intervalle:







wobei alle offene Intervalle sind, da das Monotonieverhalten bei -1, 1 nicht bestimmmt ist und nach Unendlich nie Abgeschlossenheit besteht.
Nun ordne jedem Intervall die entsprechende Monotonie zu ...

mY+
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für den Hinweis. Anhand deiner Grafik sieht man ja eigentlich schon wie die Funktion verläuft. für x<=-1 fällt sie monoton, für -1<=x<=1 steigt sie monoton und für x>= fällt sie wieder.

Aber in der Klausur habe ich leider keine Grafik zur Hand. Könnte man nicht einfach jeweils einen Wert der kleiner als -1 ist, zwischen -1 und 1 liegt und einen der größer als +1 ist, in die erste Ableitung einsetzen und schauen, ob die Funktion dort größer oder kleiner 0 wird und daraus das Monotonieverhalten ableiten? Geht das oder ist das eine absolute Schnapsidee?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Idee ist gut, so kann man es tatsächlich machen.
Und übrigens, eine Grafik kannst du dir leicht selbst erstellen.
Eine kleine Wertetabelle, die Extrema mittels Nullsetzen der 1. Ableitung (musst ja sowieso machen), deren Funktionswerte und zum Schluss noch den Wendepunkt, und du hast die Grafik schon.
Einen Taschenrechner darfst du bei der Klausur ja verwenden oder nicht?

mY+
 
 
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, einen Taschenrechner darf ich benutzen.
Ich habe nun einfach mal -2, 0 und +2 in die erste Ableitung eingesetzt und die Ergebnisse bestätigen meine Erkenntnis, die ich bereits aus der Grafik gewinnen konnte.

Wenn ich nun die c) lösen möchte und dort die Nullstellen der 2. Ableitung bestimme, erhalte ich +- Wurzel 3. Wie muss ich da nun für die Intervalle vorgehen? Kann ich das genauso machen wie zuvor?
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei ich gerade sehe, dass 0 auch eine Nullstelle der 2. Ableitung ist.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, denn (0; 0) ist auch ein Wendepunkt.
Ansonsten geht das analog, also gibt es 4 Teilintervalle









mit den entsprechenden Eigenschaften ..

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich empfehle, das schematisch wie unten im Bild aufzuschreiben.

1. Nullstellen von bestimmen.

2. Die reelle Zahlengerade durch die Nullstellen von schematisch in Intervalle einteilen

3. Das Vorzeichen von in den Teilintervallen bestimmen durch Einsetzen einer konkreten Intervallstelle (Hintergrund: Zwischenwertsatz für stetige Funktionen)

4. Das Krümmungsverhalten in den Intervallen bestimmen

5. Wo sich das Krümmungsverhalten ändert, befindet sich eine Wendestelle bzw. beim Graphen ein Wendepunkt

[attach]44725[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
wobei alle offene Intervalle sind, da das Monotonieverhalten bei -1, 1 nicht bestimmmt ist


Es gibt kein Monotonieverhalten "an einer Stelle", sondern nur eines in einem Intervall. Um zu entscheiden, ob etwas ansteigt oder nicht, braucht man immer Vergleichsstellen.
Daher ist es gleichgültig, ob man die Randwerte zu den Intervallen dazunimmt oder nicht. Man kann daher ebenso sagen: ist in streng monoton fallend. Es ist letztlich Geschmackssache, ob man die Randpunkte einschließt oder nicht. Wenn man nach den größtmöglichen Monotonieintervallen sucht, muß man die Randpunkte sogar einschließen.

Zitat:
Original von mYthos
und nach Unendlich nie Abgeschlossenheit besteht.


Auch das Intervall ist zum Beispiel abgeschlossen. Bei steht hier deswegen keine eckige Klammer, weil dieses Symbol keine reelle Zahl darstellt und reelle Intervalle immer Teilmengen von sein müssen.
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hinweise. Bei den beiden "äußeren" Intervallen sehe ich das sofort, das ist für mich klar. Aber bei den beiden "inneren" Intervallen, tue ich mich schwer, dass sofort zu erkennen. Könnte ich da zum Beispiel wieder jeweils eine Zahl aus dem dazugehörigen Intervall nehmen, wie zum Beispiel +1 und -1 und schauen ob da die zweite Ableitung größer oder kleiner 0 wird?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Tip, der mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zum Erfolg führt: meinen vorletzten Beitrag lesen und geistig verarbeiten.
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, tut mir Leid. Viel zu flüchtig gelesen. Nichts anderes hast Du ja in deiner Abbildung getan, also kann ich es auch tun.

Wie gehe ich denn nun am besten bei der d) vor? Da wird ja nach progressiv wachsend etc gefragt. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Werden Mengen durch Eigenschaften charakterisiert, so entspricht dem logischen "und" bei den Eigenschaften das Schneiden der Mengen. Kurzum, du mußt die Schemen für und "übereinanderlegen". Die Einteilung der Intervalle erfolgt also aufgrund der Nullstellen von und .
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe mal die Intervalle anhand der Nullstellen eingeteilt und hoffe, dass die Einteilung so richtig ist.

1. - unendlich < x < - wurzel 3
2. - wurzel 3 < x < -1
3. -1 < x <0
4. 0 < x < 1
5. 1 < x < wurzel 3
6. wurzel 3 < x < unendlich

Ich habe aber leider noch nicht verstanden, wie ich nun erkennen kann, ob es progressiv fällt etc.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz verstehe ich dein Problem nicht. Du mußt doch nur, was du in b) und c) bereits bestimmt hast, in den von dir korrekt bestimmten Intervallen miteinander kombinieren.
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe einfach das gemacht was ich zuvor in b) und c) gemacht habe und habe jeweils eine Zahl aus den von mir angegebenen Intervallen in die erste und die zweite Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese dann eben größer oder kleiner Null wird.

Folgendes habe ich raus:

1. progressiv fallend
2. degressiv fallend
3. progressiv steigend
4. degressiv steigend
5. progressiv fallend
6. degressiv fallend

Stimmt das so oder ist das kompletter Murks?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ventilator777
1. progressiv fallend
2. degressiv fallend
3. progressiv steigend
4. degressiv steigend
5. progressiv fallend
6. degressiv fallend

Stimmt das so oder ist das kompletter Murks?


Das stimmt. Ich frage mich nur, warum du dir diese Arbeit gemacht hast, wo du doch nur noch die Ergebnisse aus b) und c) hättest kombinieren müssen:

Zitat:
Original von Ventilator777
So, ich habe einfach das gemacht was ich zuvor in b) und c) gemacht habe und habe jeweils eine Zahl aus den von mir angegebenen Intervallen in die erste und die zweite Ableitung eingesetzt und geschaut, ob diese dann eben größer oder kleiner Null wird.


Finger1
Ventilator777 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich es anders hätte kombinieren sollen?! Das war sicherlich etwas umständlicher aber immerhin bin ich auch so zum richten Ergebnis gekommen
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich beziehe mich nachfolgend auf das Zitat vo Leopold:

"Wenn man nach den größtmöglichen Monotonieintervallen sucht, muß man die Randpunkte sogar einschließen."

Also ich nehme die Randpunkte auch immer mit dazu, das wurde hier ja ausgiebig diskutiert. Ich habe noch eine Frage zu "größtmöglich".

Die Intervalle sind ja Mengen. Ich kann also entweder die Mächtigkeit als "Größe" verwenden, oder ich kann die Länge des Intervalls als "Größe" nehmen. Beides Mal gilt jedoch:

Länge L:

Mächtigkeit:

also sind doch beide Intervalle gleich groß; was wieder dafür sprechen würde, dass es "Geschmackssache" ist.

Gruß Stevie
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

"größtmöglich" natürlich bezüglich .

P.S. Wie kommst du darauf, einen zweieinhalb Jahre alten Thread aufzuwärmen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

klar bezüglich Inklusion, daran hatte ich nicht gedacht!

Sorry, falls das ungern gesehen wird einen alten Beitrag aufzuwärmen, ich dachte es wäre besser, als einen neuen deswegen zu öffnen.

Ich komme dazu, weil ich das Thema gerade in der Schule unterrichte und meine SuS oftmals auch YouTube nutzen, um die Inhalte zu wiederholen. Dort werden jedoch hin und wieder Dinge falsch oder eben anders gezeigt als ich es im Unterricht mache.

So auch mit den Klammern bei den Monotonieintervallen. Die YouTube Videos (wo es so gut wie überall anders gezeigt wird, also mit offenen Intervallen) haben mich dann in ihrer Vielzahl auch verunsichert. So kam ich durch meine Rechersche dann auf diesen "alten" Post. In den Videos machen viele den Fehler, dass das Monotonikriterium (f'(x) > 0) als notwendige Bdg. verstanden wird. Es ist aber nur hinreichend.

Bzw. die Implikation (Wenn A dann B; wenn f'(x)>0 dann s.m.w) einfach negieren und dann aber die Richtung nicht ändern (Wenn nicht A, dann nicht B; wenn nicht f'(x)>0, dann nicht s.m.w.) was natürlich falsch ist.

naja so viel dazu!

Viele Grüße
Stevie
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das alles zu verstehen, ist letztlich auch nicht leicht. Daß Schüler da irgendwo hängenbleiben, ist verständlich. Mehr als einmal ist es mir aber passiert, daß, wenn ich Klassen übernahm, mir Schüler versicherten, sie hätten es bei meinem Vorgänger so (also falsch) gelernt. Als ich mir dann ungläubig die alten Arbeitsblätter zeigen ließ, mußte ich feststellen: die Schüler erinnerten sich richtig. Offenbar ist das nicht nur für Schüler schwer, sondern auch für Lehrer (auch unser alter Haudegen mYthos ist ja, wie man weiter vorne sieht, gestolpert). Umso erfreulicher, daß es auch bei der neuen Lehrergeneration positive Ausnahmen gibt. Augenzwinkern

Man könnte es so machen:

1. sei in einem Intervall stetig und (mindestens) im Innern von differenzierbar. Gilt im Innern von , so ist in streng monoton wachsend (analog bei streng monoton fallend).

2. Das Intervall sei rechts abgeschlossen, das Intervall links abgeschlossen, die obere Grenze von sei gleich der unteren von . Ist in und in streng monoton wachsend, dann auch in (analog bei streng monoton fallend).

Das ist der Hintergrund für den Fachmann. Schülern vermittle ich das nicht in der obigen abstrakten Form, sondern an konkreten Beispielen. Gerade der Stetigkeitsbegriff wird ja in Lehrplänen und Schulbüchern stiefmütterlich, oft gar nicht behandelt. Man muß da also naiv argumentieren. (Als Mathematiklehrer naiv argumentieren und dennoch alles mit seinem mathematischen Gewissen vereinbaren zu können, ist eine pädagogisch-didaktische Herausforderung, die Hohe Kunst der Didaktik.)

Jedenfalls lassen sich mit 1. und 2. viele Klippen umschiffen.


Beispiel 1:

Man wählt und . Nach 1. ist in und in streng monoton wachsend, nach 2. also auch in . Offenbar stört (Sattelpunkt beim Graphen von ) die Monotonie nicht.


Beispiel 2:

(Ich vertrete, wie im Board schon öfter diskutiert, die Auffassung, daß die dritte Wurzel auch für negative reelle Zahlen definiert ist. Wenn es dich stört, dann mach eine Fallunterscheidung und definiere für .)

Man wählt und wie im 1. Beispiel und argumentiert analog. Offenbar stört die Nichtdifferenzierbarkeit von an der Stelle 0 die Monotonie nicht. (Immerhin ist bei 0 "uneigentlich differenzierbar". Ich weiß nicht, ob es diesen Begriff gibt.)


Beispiel 3:

Man wählt die aufeinanderfolgenden Intervalle . Im Innern eines jeden Intervalls gilt , sukzessive erkennt man die strenge Monotonie auf ganz . Der Graph von besitzt unendlich viele Sattelpunkte.


Beispiel 4:

und wie im ersten Beispiel. Man erkennt, daß in streng monoton wächst. Auch hier stört die Nichtdifferenzierbarkeit von an der Stelle die Monotonie nicht. Im Unterschied zum Beispiel 2 ist bei 0 einseitig differenzierbar.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe im Unterricht die Gelegenheit genutzt, das Thema "Vielfachheiten von Nullstellen" zu wiederholen und mit dem Thema Monotonie zu koppeln.
Das Ergebnis aus der Diskussion mit den SuS war etwa das folgende:

1) Die Nullstellen der ersten Ableitung liefern mögliche Kandidaten für Stellen, an denen das Monotonieverhalten wechseln könnte.

2) An der Vielfachheit lässt sich erkennen, ob das Monotonieverhalten wirklich wechselt:

--> Vielfachheit gerade: kein Wechsel, (die Intervalle I und J werden also zusammengefasst)

--> Vielfachheit ungerade: Wechsel des Monotonieverhaltens (I und J werden als separate Intervalle notiert die rechts- bzw. linksabgeschlossen sind, oder eben ganz abgeschlossen, falls beide Intervallgrenzen reelle Zahlen sind)

Bei GRF ist man dann echt fix, denn der Leitkoeffizient in Verbindung mit dem Grad sagt mir über den globalen Verlauf ja schon, mit welcher Monotonieart das ganze beginnt; anschließend muss ich nur "Wechsel" oder "Nicht Wechsel" beachten und kann mir eine "Probe" mit einzelnen Punkten sparen.

Viele Grüße
Stevie
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man eigentlich nicht auch sagen, dass wenn die Bedingung nur auf einer Nullmenge (im maßtheoretischen Sinne) nicht erfüllt ist, dann stört das die strenge Monotonie nicht?

Die Intervallgrenzen bzw. Sattelstellen sind ja diskrete Punkte/Stellen. Sie haben also sicherlich das Maß null.

Viele Grüße
Stevie
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