Ableitung Umkehrfunktion

21.06.2017, 22:05

afiskjbfsdjk

Ableitung Umkehrfunktion

Kann ich zum Ableiten der Umkehrfunktion einfach diese Formel benutzen:
$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$ . Im Internet sieht das immer komplizierter aus (Umformen nach x, Einsetzen usw.) Aber das ist letztendlich das gleiche, oder?

21.06.2017, 22:15

jkfhskjfs

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Und nebenbei: Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} cosh^2 x - sinh^2 x = 1 \end{eqnarray*}$ sogar $\begin{eqnarray*} sinh x = \sqrt{cosh^2 x - 1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} sinh x = +-\sqrt{cosh^2 x - 1} \end{eqnarray*}$ ?

21.06.2017, 23:40

Dopap

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letztlich schon. Nur ums Rechnen kommst du auch hier nicht herum.

btw: tolle Namen unglücklich

22.06.2017, 09:23

Leopold

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RE: Ableitung Umkehrfunktion

Zitat:

Original von afiskjbfsdjk
$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$

Wenn ich einmal überpingelig bin, dann stimmt die Formel nicht ganz. Richtig wäre vielmehr

$\begin{align*} \left( f^{-1} \right)'(x) = \frac{1}{f' \left( f^{-1} (x) \right)} \end{align*}$

Ich gebe allerdings zu, daß ich "in der Eile" auch mal deine Form verwende.

22.06.2017, 10:57

IfindU

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Zitat:

Original von jkfhskjfs
Und nebenbei: Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} cosh^2 x - sinh^2 x = 1 \end{eqnarray*}$ sogar $\begin{eqnarray*} sinh x = \sqrt{cosh^2 x - 1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} sinh x = +-\sqrt{cosh^2 x - 1} \end{eqnarray*}$ ?

Das stimmt nur für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Allgemein gilt aber tatsaechlich $\begin{eqnarray*} \cosh x = \sqrt{ \sinh^2 x + 1} \end{eqnarray*}$ .

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