Reihenwert berechnen

21.06.2017, 22:29	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenwert berechnen Hallo, ich habe die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2}} \end{eqnarray}$ zu untersuchen. Das sie konvergiert ist leicht, aber ich soll auch den Reihenwert ermitteln. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \lim_{k\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray}$ ist, aber sehe hier keine sinnvolle Abschätzung Kann mir wer einen Tipp geben?
21.06.2017, 22:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} \end{eqnarray}$
21.06.2017, 22:55	Andreas123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, dass ich mich dazwischen schalte. Wie kommst du auf diese Umformung ?
21.06.2017, 22:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Links steht die Summe aller reziproken ungeraden Quadratzahlen; rechts nimmt man die Summe aller reziproken Quadratzahlen und subtrahiert die geraden.
21.06.2017, 23:01	Andreas123	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso Kann man das auch anders sehen. Mit Indexverschiebung?
21.06.2017, 23:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht dir das nicht als Begründung? Mir würde jetzt gerade nichts anderes einfallen.
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21.06.2017, 23:11	Andreas123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine nur aus Interesse Wenn ich von k=0 auf k=1 verschiebe, müsste ich ja in der Summe das k um 1 erniedrigen. Aber das steht ja quadratisch drin. Wie geht das dann?
21.06.2017, 23:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2(k-1)+1)^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} \end{eqnarray}$ .
21.06.2017, 23:19	Andreas123	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso Aber das bringt leider nicht so viel bei der Aufgabe. Also Indexverschiebung nicht
21.06.2017, 23:20	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh Vielen Dank!

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