Methode der Charakteristiken ohne Anfangsbedingung

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alexander1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der Charakteristiken ohne Anfangsbedingung
Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
ich komme mit folgender partieller Differentialgleichung nicht weiter:

In der Lösung geht es so weiter:
Trennung der Variablen, so dass wir erhalten

damit kommen wir auf

So weit verstehe ich alles. Jetzt wird in der Lösung durch ersetzt:

Ok, neue Variablen, auch noch ok. Jetzt aber heißt es (und ab hier komm ich nicht mehr weiter):

und






Meine Ideen:
Ideen nicht, aber Fragen: wie kommen wir auf das und ? Legt man das einfach so fest? Woher wissen wir, dass ?
Mein Problem besteht darin, dass keine Anfangsbedingung gegeben ist.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode der Charakteristiken ohne Anfangsbedingung
Laengs Charakteristiken ist die Loesung konstant, weil die rechte Seite hier null ist. Charakteristiken sind, wie Du angibst, alle Kurven mit

Wenn man als neue Koordinaten und nimmt, dann sagt auf welcher Charakteristik man liegt und ist schon egal, wie man durch Nachrechnen bestaetigt: . Dazu eben und mit ausdruecken und in die Dgl einsetzen.

Damit ist nur eine Funktion von und also von der Art mit beliebigem .

Hier wird einfach nur nachgerechnet, was man sich anschaulich eh denken kann.
alexander1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode der Charakteristiken ohne Anfangsbedingung
Vielen Dank für deine antwort! Ich fürchte aber, ich brauche es noch ein bisschen ausführlicher...
darf ich mir und einfach aussuchen? Wie kann ich nachrechnen, ich kenne doch gar nicht?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode der Charakteristiken ohne Anfangsbedingung
Du kannst beliebige Koordinatentransformationen machen, -- solange Du damit leben kannst, dass dann auch Beliebiges/Uninteressantes/Belangloses/Unbrauchbares bei rauskommt.

Warum man als eine neue Koordinate nimmt und was man sich davon verspricht, hab ich Dir oben erklaert. Was Du fuer nimmst, ist egal, solange eine glatte umkehrbare Transformation bei rauskommt. z.B. ginge auch.

Zum Nachrechnen: Du hast . Da kannst Du jetzt sicher und in Abhaengigkeit von und ausrechnen (Kettenregel!) und das Ergebnis in die Dgl einsetzen. Es ergibt sich gerade wie erwartet.
alexander1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, hab's geschnallt. Vielen Dank!
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