Berechnung Normalverteilung

22.06.2017, 17:59

blackBeatle

Berechnung Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo,

ich dachte, ich hätte die Normalverteilung ganz gut verstanden, aber scheinbar funktioniert es doch leider nicht so, wie ich es gerade berechnet habe. So lautet die Aufgabe:

Im Jahr 2015 wurden in der Bundesrepublik Deutschland insgesamt 737 575 Lebendgeburten registriert. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mehr als j = 378 477 Jungen befinden, wenn jedes Kind (unabhängig von den anderen) mit Wahrscheinlichkeit p=0.5 ein Junge ist! Wie ist es daher zu interpretieren, dass tatsächlich j + 1 Jungengeburten registriert worden sind?

Meine Ideen:
Ich habe zuerst einmal den Erwartungswert und die Varianz berechnet, hierfür bekam ich $\begin{eqnarray*} \mu = n \cdot p = 737575 \cdot 0.5 = 368787.5 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 737575 \cdot 0.5^2 = 184393.75 \end{eqnarray*}$ .

Ich rechnete dann weiter mit
$\begin{eqnarray*} P\{S_n > 378477\} = P \{ \frac{378477 - 368787.5}{\sqrt{184393.75}}\} = P\{z > 22.56\} = 1- \Phi(22.56) \end{eqnarray*}$
Allerdings finde ich in der Tabelle der Normalverteilung keine 22. Irgendetwas mache ich also falsch. Wo genau habe ich mich vertan? Ich wäre wirklich sehr dankbar für jeglichen Hinweis! Gott

22.06.2017, 19:04

HAL 9000

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Nein, du hast schon soweit richtig gerechnet. Tatsächlich kommt $\begin{align*} 1-\Phi(22.56)\approx 4.7\cdot 10^{-113} \end{align*}$ heraus, also praktisch unmöglich (wenn auch nicht theoretisch). Diese extremen Ränder der Normalverteilung werden i.d.R. nicht mehr tabelliert, es gilt für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ die Ungleichung

$\begin{align*} \frac{x}{(x^2+1)\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} < 1-\Phi(x) < \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*}$

welche für sehr große $\begin{align*} x \end{align*}$ (etwa wie deins) eine sehr gute Abschätzung liefert.

24.06.2017, 18:08

MatheNOOOOB

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Moin Moin,

Ich habe es so berechnet:

P(378478 <= x <= 737575)

=> phi((737575 - 368787,5) / 429,41) - phi((378478 - 368787,5) / 429,41)

= phi(858,82) - phi(22,56)

müsste es nicht so aussehen ?
Oder habe ich da nen Gedankenfehler verwirrt

24.06.2017, 18:47

HAL 9000

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Mal von den absurden Dimensionen abgesehen, in denen sich dieser Phi-Wert bewegt, möchte ich auf einen anderen Punkt aufmerksam machen: Die Normalverteilung ist ja hier nur eine Approximation der eigentlich binomialverteilten Zufallsgröße

$\begin{align*} X \end{align*}$ ... Anzahl der Jungen unter 737575 Geborenen

Wie groß meinst du ist $\begin{align*} P(X>737575) \end{align*}$ ? Anscheinend bist du ja der Meinung, dass $\begin{align*} P(378478\leq X) \end{align*}$ und $\begin{align*} P(378478\leq X\leq 737575) \end{align*}$ unterschiedliche Werte sind, und $\begin{align*} P(X>737575) \end{align*}$ ist genau die Differenz dieser Werte. Also nochmal in Worten:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 737575 Geborenen mehr als 737575 Jungen sind? Augenzwinkern

24.06.2017, 19:08

MatheNOOOOB

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Ich weiss was du meinst ^^ ja die W. ist 0, aber mich wundert es das wir unterschiedliche phi-werte haben.. Theoretisch gehen die Werte bei beiden Lösungen gegen 0.

Wäre jetzt meine Lösung falsch Big Laugh

24.06.2017, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheNOOOOB
Wäre jetzt meine Lösung falsch Big Laugh

Nein, denn gerundet haut es ja doch noch hin.

Ja, was den Einzelwert betrifft: Du musst dir aber einfach bewusst sein, dass an den Rändern die Normalverteilungsapproximation nicht mehr sonderlich gut ist, und deshalb dort nicht anzuwenden ist. Und in dem Extremfall nach dem Endwert der Binomialverteilung wird es eben regelrecht falsch: Null als echter Binomialverteilungswert und echt größer Null als Approximationswert. unglücklich

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