Partielle Integration

23.06.2017, 11:05

leodavinci

Auf diesen Beitrag antworten »

Partielle Integration

Meine Frage:
Wie löse ich dieses Integral?
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! \frac{t^n}{n!}e^{-pt} dt \end{eqnarray*}$
Es kommt nachher als Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p^{n+1}} \end{eqnarray*}$ heraus

Meine Ideen:
Ich bin soweit, dass ich das über mehrmalige partielle Integration machen muss. Nur dann komme ich nicht auf die Schlussfolgerung, dass nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p^{n+1}} \end{eqnarray*}$ übrig bleibt.

23.06.2017, 11:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von leodavinci
Nur dann komme ich nicht auf die Schlussfolgerung, dass nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p^{n+1}} \end{eqnarray*}$ übrig bleibt.

Um dazu eine Aussage zu machen, müßte man mal deine Rechnung sehen. smile

smile

23.06.2017, 11:37

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Das Integral sei $\begin{eqnarray*} I_n(p) \end{eqnarray*}$ genannt. Dann ergibt sich durch Ableiten nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I'_n(p)=-(n+1)I_{n+1}(p) \end{eqnarray*}$

Aus dieser Beziehung folgt die Behauptung durch vollständige Induktion.

23.06.2017, 14:28

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Hallo Huggy. Wie kommst du auf deine Gleichung?

23.06.2017, 14:43

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Na, einfach durch Ableiten. Die Ableitung nach dem Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ darf man in das Integral ziehen.

$\begin{eqnarray*} I'_n[p]=\frac {d}{dp}\int_{0}^{\infty } \! \frac{t^n}{n!}e^{-pt} dt =\int_{0}^{\infty } \! \frac {d}{dp}\frac{t^n}{n!}e^{-pt} dt =-\int_{0}^{\infty } \! \frac{t^{n+1}}{n!}e^{-pt} dt=-(n+1)\int_{0}^{\infty } \! \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}e^{-pt} dt=-(n+1)I_{n+1}(p) \end{eqnarray*}$

23.06.2017, 14:51

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Danke Freude

Freude

Wie sehe ich mein Ergebnis jetzt mit der vollständigen Induktion. Ein Tipp wäre noch schön. Ich will selber draufkommen verwirrt

verwirrt

Anzeige

23.06.2017, 14:59

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Straightforward!
Der Induktionsbeginn bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist trivial. Schreibe obige Beziehung in die Form $\begin{eqnarray*} I_{n+1}= ... \end{eqnarray*}$ um. Nimm an, die zu zeigende Behauptung sein für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bewiesen. Setze die Annahme auf der rechten Seite ein und rechne aus.

23.06.2017, 15:22

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Muss ich das dann nicht für I_(n+2) beweisen?

23.06.2017, 15:27

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Wieso denn das? Der übliche Induktionsschritt ist doch zu zeigen, wenn eine Aussage für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt sie auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

23.06.2017, 15:30

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration
Ja genau, wenn ich wie du sagst nach I_n+1 = - I_n ' /(n+1) umstelle, dann gilt doch für n+1

I_n+2 = - I_n+1 ' /(n+2) ?

23.06.2017, 15:45

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partielle Integration

Zitat:

Original von leodavinci1
Ja genau, wenn ich wie du sagst nach I_n+1 = - I_n ' /(n+1) umstelle,...

Diese Beziehung habe ich doch ohne Induktion für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bewiesen. Der Induktionsschritt besteht nun darin anzunehmen, für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelte

$\begin{eqnarray*} (*) \quad I_n=\frac {1}{p^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir mit der genannten allgemeingültigen Beziehung

$\begin{eqnarray*} I_{n+1}=-\frac {1}{n+1}\frac {d}{dp}I_n= -\frac {1}{n+1}\frac {d}{dp}\frac {1}{p^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Das zu Ende gerechnet, zeigt, wenn die Beziehung (*) für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt sie auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

23.06.2017, 16:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg von Huggy, gleich das gesamte uneigentliche Integral als Funktion von $\begin{align*} p \end{align*}$ aufzufassen, ist der eleganteste hier.

Beschwerlicher, aber immerhin dennoch möglich, ist das direkte Aufsuchen einer Stammfunktion. Dabei hilft die "abbrechende" Exponentialreihe

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd t} \sum_{k=0}^n \frac{(pt)^k}{k!} = p\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(pt)^k}{k!} \end{align*}$ ,

denn damit gilt dann

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd t} e^{-pt} \sum_{k=0}^n \frac{(pt)^k}{k!} = -pe^{-pt}\sum_{k=0}^n \frac{(pt)^k}{k!} + e^{-pt} p\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(pt)^k}{k!} = -pe^{-pt} \frac{(pt)^n}{n!} \end{align*}$ ,

es folgt $\begin{align*} \int \frac{t^n}{n!} e^{-pt} ~ \dd t = -\frac{1}{p^{n+1}} e^{-pt} \sum_{k=0}^n \frac{(pt)^k}{k!} + C \end{align*}$ .

Spielt eine Rolle bei der Verteilungsfunktion der Erlangverteilung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Fehlendes p korrigiert.

23.06.2017, 16:29

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe Freude

Freude

23.06.2017, 16:31

leodavinci1

Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. eure Hilfe smile

smile

Freude

23.06.2017, 16:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Oben ist mir ein $\begin{align*} p \end{align*}$ entfleucht, ich werde es gleich noch korrigieren...

23.06.2017, 16:58

Mathe12356

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL: Kannst du deinen Weg zum Finden der Stammfunktion etwas erklären. Ich würde ihn gerne verstehen ?
Z.b warum leitest du den Ausdruck in der 2. Zeile ab?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »