Globale Lsg Dgl 2 Ordnung nicht linear

23.06.2017, 18:26

Mathematicax33

Globale Lsg Dgl 2 Ordnung nicht linear

Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe
[attach]44723[/attach]

Meine Ideen:
Ich weiß leider nicht wie ich hier vorgehen soll. Kann ich über die Globalität eine Aussage machen ohne direkt u ausrechnen zu müssen ? Weil ein Lösungsverfahren Nichtlin. Dgl 2 Ordnung haben wir bisher nicht durchgenommen. Wir haben nur den Linearisierungssatz von Hartman..und auch damit weiß ich nicht wie ich vorgehen sollte :/
Wolfram Alpha gibt mir diese Lösungen :
[attach]44724[/attach]
Aber wie gesagt,kann ich ja schlecht anwenden wenn wir es noch nicht hatten.
Hoffe jemand kann mir helfen
LG

23.06.2017, 19:19

IfindU

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Die Aussage folgt vom Satz von Picard-Lindelöf in zwei Dimensionen.

23.06.2017, 20:17

Mathematicax33

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aber die besagt ja nur für lokale lsg oder nicht ? verwirrt

23.06.2017, 20:20

IfindU

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Es gibt zwei Versionen. Die eine lieferte lokale Existenz und Eindeutigkeit, die andere (mit mehr Voraussetzungen) das in global.

23.06.2017, 20:25

Mathematicax33

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Achso..d.h darf ich so argumentieren?
mit f(u(t))= -w^2sin(u(t))
ist die Ableitung gegeben durch : -w^2u'(t)cos(u(t))
Durch die Beschränktheit der Cosinus Fkt ist die Ableitung beschränkt auf einem abgeschlossenem Intervall und somit erfüllt f(u(t)) eine globale Lipschitz Bedingung -> eind. global lösbar

23.06.2017, 20:31

IfindU

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Waere $\begin{eqnarray*} u'(t) = -\omega^2 \sin(u(t)) \end{eqnarray*}$ . Dann waere $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} f(x) = -\omega^2 \sin(x) \end{eqnarray*}$ , weil dann gilt $\begin{eqnarray*} u'(t) = f(u(t)) \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Funktion in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist global Lipschitz stetig. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ hat in der Betrachtung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nichts verloren.

Du musst es aber noch umschreiben, weil du links zwei Ableitungen stehen hast, nicht eine.

23.06.2017, 20:35

Mathematicax33

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Achso,ja stimmt!
Aber wie will ich hier nach der ersten Ableitung explizit umstellen die ist ja nicht linear :/

23.06.2017, 20:41

IfindU

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Der uebliche Trick. Man schreibt die skalere Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine vektorielle Differentialgleichung erster Ordnung um. Das geht immer -- und dann verwendet man den Satz in zwei Dimensionen (was ich zugegeben nur sehr leicht angedeutet habe im ersten Post.)

23.06.2017, 20:43

Mathematicax33

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Sprich
sei z' = u''
-->
z=u'

und Integral von z ist dann u.

Mein Dgl erster Ordnung wäre dann

--> $\begin{eqnarray*} z'=-w^2 sin(\int_{}^{} \! z(s) \, ds ) \end{eqnarray*}$ ?

23.06.2017, 20:50

IfindU

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$\begin{eqnarray*} u' = z \end{eqnarray*}$ war schon gut. Aber dann muss es $\begin{eqnarray*} z' = f(u(t)) \end{eqnarray*}$ heissen. Dann ist $\begin{eqnarray*} \binom u v' = ... \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein System von Gleichungen erster Ordnung.

Bemerke wenn du die erste Gleichheit $\begin{eqnarray*} u' = z \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableitest, bekommst du $\begin{eqnarray*} u''=z' \end{eqnarray*}$ . Wenn du dann fuer $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ die zweite Gleichung einsetzt, bekommst du eine Originalgleichung. D.h. die beiden Probleme sind aequivalent.

23.06.2017, 20:58

Mathematicax33

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Danke !

D.h ich kriege mit
$\begin{eqnarray*} u'=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u''=z' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} '= -w^2 \begin{pmatrix} sin(z_1) \\ sin(z_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so richtig ?

23.06.2017, 21:03

IfindU

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Du hast $\begin{eqnarray*} z_1' = z_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2' = f(z_1) \end{eqnarray*}$ . Deine Gleichung entspraeche $\begin{eqnarray*} z_1' = f(z_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2' = f(z_2) \end{eqnarray*}$ -- ein komplett entkoppeltes System. Alles was du tun musst ist ein $\begin{eqnarray*} g : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, \; g(x,y) = ? \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray*} (z_1', z_2') = g(z_1, z_2) \end{eqnarray*}$ ist.

Aehlich zu dem wie ich dir eben das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorgegeben habe (ohne das u!).

23.06.2017, 21:12

Mathematicax33

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ok ich bin jetzt gerade voll verwirrt

Kannst du mir mal zeigen bzw das DGL 1 Ordnung hinschreiben vielleicht kann ichs dann nachvollziehen aber hab momentan irgendwie einen Blackout unglücklich

23.06.2017, 21:18

IfindU

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Ich bin gleich erst einmal weg. Dann noch einmal ganz langsam.
Wir haben
$\begin{eqnarray*} \binom { z_1}{z_2}' = \binom{ z_2 }{ f(z_1) } \end{eqnarray*}$ . Die Hoffnung ist man findet jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} g(z_1, z_2) = \binom{ z_2 }{ f(z_1) } \end{eqnarray*}$ . Hat man das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man auch $\begin{eqnarray*} z := (z_1, z_2) \end{eqnarray*}$ auffassen, und die Differentialgiechung schreiben als $\begin{eqnarray*} z' = g(z) \end{eqnarray*}$ . Das ist eine vektorielle Differnetialgleichung, auch wenn man es nicht mehr so direkt ansieht. Aber man kann nun nachpruefen, dass das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Lipschitz stetig ist und damit den Satz anwenden.

23.06.2017, 22:55

Mathematicax33

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Aber wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} ' =\begin{pmatrix} z_2 \\ f(z_1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ warum gilt das ?

Wir haben ja z' definiert als $\begin{eqnarray*} z'= f(u(t)) = -w^2sin(u(t)) \end{eqnarray*}$
Sprich warum entspricht die Ableitung meiner ersten Komponente von z, der zweiten komponente von z bzw warum gilt $\begin{eqnarray*} z_{2}'=f(z_{1} ) \end{eqnarray*}$ ?

24.06.2017, 05:36

IfindU

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} u' = v \end{eqnarray*}$ war schon gut. Aber dann muss es $\begin{eqnarray*} v' = f(u(t)) \end{eqnarray*}$ heissen. Dann ist $\begin{eqnarray*} \binom u v' = ... \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein System von Gleichungen erster Ordnung.

Bemerke wenn du die erste Gleichheit $\begin{eqnarray*} u' = v \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableitest, bekommst du $\begin{eqnarray*} u''=v' \end{eqnarray*}$ . Wenn du dann fuer $\begin{eqnarray*} v' = f(u(t)) \end{eqnarray*}$ die zweite Gleichung einsetzt, bekommst du die Originalgleichung $\begin{eqnarray*} u'' = v' = f(u(t)) \end{eqnarray*}$ . D.h. die beiden Probleme sind aequivalent.

Ich habe mal eine andere Variable benutzt als vorher und noch mehr Informationen ergaenzt. Und noch ein Bsp: $\begin{eqnarray*} u''' = f(u) \end{eqnarray*}$ kann man umscheiben in das System $\begin{eqnarray*} u' = v \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v' = w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w' = f(u) \end{eqnarray*}$ . Dann kannst $\begin{eqnarray*} u' = v \end{eqnarray*}$ ableiten, dann $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ einsetzen, noch einmal ableiten, dann $\begin{eqnarray*} w' \end{eqnarray*}$ einsetzen und bekommst die urspruengliche Gleichung.

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