Adjungierten Operator und Norm bestimmen

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24.06.2017, 10:32	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierten Operator und Norm bestimmen Guten Tag, Seien $\begin{eqnarray} \mathbb H:=l _2(\mathbb N) =\{(u_n)_{n\in \mathbb N}, u_n\in \mathbb C, \sum_n \|u_n\|^2<\infty\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A: l_2(\mathbb N)\to l_2(\mathbb N) \end{eqnarray}$ der lineare Operator $\begin{eqnarray} A(u_n)=(a_n u_n) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \ell^\infty(\mathbb N) \end{eqnarray}$ liegt. In den ersten beiden Teilaufaufgaben soll ich zeigen, (1) $\begin{eqnarray} \|\| A \|\|_\infty = sup_{n \in \mathbb N} \|a_n\| \end{eqnarray}$ (2) Bestimmen Sie A* zu (1): Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \|\| A \|\|_\infty \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn für mich. Müsste da nicht sowas stehen $\begin{eqnarray} \|\| (Au)_n \|\|_\infty \end{eqnarray}$ . Wenn ein Operator alleine in der Norm steht, dann handelt es sich doch normalerweise um eine Operatornorm. zu (2): Wie begründe ich die Existenz (danach wird nicht explizit gefragt, aber mich würde es trz. interessieren). Um A* zu bestimmen kann ich ja nur die folgenden Gleichung benutzen $\begin{eqnarray} <(u_n), A (v_n)> = < (A^u)_n , (v_n) > \end{eqnarray*}$ Wie ist das Skalarprodukt auf l_2 definiert und ist dies der richtige Ansatz?
24.06.2017, 11:11	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ausdruck $\begin{align} \\|A\\|_\infty \end{align}$ ergibt für mich auch keinen Sinn, wenn das nicht vorher bei euch irgendwo definiert wurde, würde ich von einem Struddelfehler in der Aufgabenstellung ausgehen. Die Gleichung $\begin{align} \\|A\\|_{\operatorname{op}} = \sup_{n\in\mathbb N}\|a_n\| \end{align}$ ist jedenfalls richtig. Zu 2) Ja, das ist der richtige Ansatz. Das Skalarprodukt auf $\begin{align} \ell^2 \end{align}$ ist $\begin{align} \langle (u_n)_n,(v_n)_n\rangle := \sum_n u_n\overline{v_n} \end{align}$ . Jeder beschränkte Operator auf einem Hilbertraum hat einen adjungierten Operator. Das folgt wahlweise aus dem Satz von Fréchet-Riesz oder aus dem Lemma von Lax-Milgram, was jedoch auch auf dem Darstellungssatz beruht. Falls du einen dieser Sätze kennst, kann ich dir gerne etwas über die Details erzählen.
24.06.2017, 11:55	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sätze sagen mir leider nicht, aber bei gegebener Zeit werde ich mir diese anschauen und auf dein Angebot zurück kommen. Danke für den Verweis! (1) $\begin{eqnarray} \|\|\| A \|\|\|^2 = sup_{u_n \in l_2} \frac{\|\|(Au)_n\|\|^2}{\|\|(u_n)\|\|^2} = sup_{u_n \in l_2} \frac{\sum_{n \in \mathbb N} \|Au_n\|^2}{\sum_{n \in \mathbb N} \|u_n\|^2} \end{eqnarray}$ Mit der verwendeten Norm auf l_2 und u_n soll nicht die Nullfolge sein. Hmm weiter komme ich mit der allg. Definition der Operatornorm aber nicht (2) $\begin{eqnarray} <(u_n),(Av)_n> = <(A^ u)_n , (v_n)> \quad \Leftrightarrow \quad \sum_n u_n \cdot (Av_n)^* = \sum_n A^* u_n \cdot v_n ^* \end{eqnarray}$ Hier raus sehe ich leider nicht, welche Bedingung A erfüllen muss....
24.06.2017, 12:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Definition von $\begin{align} A \end{align}$ nicht eingesetzt. Dann kannst du natürlich auch nichts dabei sehen.
24.06.2017, 17:31	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) $\begin{eqnarray} \|\|\|A\|\|\|^2 = sup_{(u_n) \in l_2} \frac{<(Au)_n, (Au)_n}{<(u_n),(u_n)>} = sup_{(u_n) \in l_2} \frac{\sum_n \|a_n u_n\|^2}{\sum_n \|u_n\|^2} = sup_{(u_n) \in l_2} \frac{\sum_n \|a_n\|^2 \|u_n\|^2}{\sum_n \|u_n\|^2} = \sum_n \|a_n\|^2 \Rightarrow \|\|\|A\|\|\| = \sum_n \|a_n\| \end{eqnarray}$ Wenn sich die u_n's rauskürzen, habe ich kein sup mehr und außerdem erhalte ich nicht am Ende, dass $\begin{eqnarray} \|\|\|A\|\|\| = sup_{n \in \mathbb N} \|a_n\| \end{eqnarray}$ (2) Da erhalte ich dann folgedens für den adjungierten Operator: $\begin{eqnarray} (A^ u)_n = (a_n ^* u_n) \end{eqnarray*}$
24.06.2017, 17:35	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schritt, wo du die Summe herausgekürzt hast, den würde ich nochmal überdenken. Schreib dir mal für den Fall von nur zwei Summanden auf, was du da gerade gemacht hast. $\begin{align} \frac{a_1u_1+a_2u_2}{u_1+u_2} = a_1+a_2 \end{align}$ Was ist bedeutet bei dir der Stern bei $\begin{align} a_n \end{align}$ ? Wie ist das zu verstehen?
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24.06.2017, 17:57	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, meine Ausführung ist gerade sehr schlampig... (1) Stimmt... Ich habe einen Bruch der Form schon mal irgendwo gesehen. Hmm, wie ich den Bruch umschreiben muss, weiß ich aber nicht. (2) $\begin{eqnarray} <(u_n) \| (Av)_n > = <( A^\dagger u)_n \| (v_n) > \quad \Leftrightarrow \quad \sum_n u_n \cdot \overline{( a_n v_n)} = \sum_n A^\dagger u_n \cdot \overline {v_n} \quad \Rightarrow (A^\dagger u)_n = (u_n \overline{a_n}) \end{eqnarray}$
24.06.2017, 18:13	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist nun auf einmal $\begin{align} A^\dagger \end{align}$ ? Ist das eine neue Bezeichnung für $\begin{align} A^\ast \end{align}$ ? $\begin{align} A^\ast(u_n)_n = (\overline{a_n}u_n)_n \end{align}$ ist richtig. Versuch doch in der Summe stattdessen mal abzuschätzen. Wogegen kannst du denn jedes der $\begin{align} \|a_n\|^2 \end{align}$ abschätzen?
24.06.2017, 18:24	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass soll der adjungierte Operator sein. Ich kann die $\begin{eqnarray} \|a_n\| < sup_{n \in \mathbb N} \|a_n\| \end{eqnarray}$ durch abschätzen. Okay jetzt hab ich es, danke dir!
24.06.2017, 18:30	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weise darauf hin, dass durch diese Abschätzung nur gezeigt wird, dass $\begin{align} \\|A\\| \leq \sup_{n\in\mathbb N}\|a_n\| \end{align}$ , aber wenn du die andere Richtung auch schon gezeigt hast, ist ja gut.
25.06.2017, 12:10	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe

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