Verteilungsfunktion aus Funktionsstücken ermitteln

24.06.2017, 14:36

SchnippSchnappp

Verteilungsfunktion aus Funktionsstücken ermitteln

Hallo zusammen,

ich verstehe folgende Lösung nicht (siehe Anhang)

Es soll eine Verteilungsfunktion ermittelt werden. Die gegebene Dichtefunktion besteht aus Funktionsstücken. Wie ist die korrekte Bezeichnung für diese art von Funktion, die in Teilbereiche aufgeteilt ist?

Wie bin ich nun vorgegangen. Ich habe die Funktion in Ihren Teilbereichen Integriert, um die "Teil"Verteilungsfunktionen zu ermitteln (wie nennt man das richtig?). Ich habe dann die Integrationsgrenzen eingesetzt und die Flächen der beiden Integrale addiert, da die Verteilungsfunktion schließlich FX(x) = 1 ergeben muss und auch tut.

Allerdings entsteht beim Integrieren neben der Stammfunktion eine reelle aber nicht bestimmte Konstante C. Laut Literatur kann man diese durch F(a)+C1=0 berechnen (a= untere Integrationsgrenze). Aber wieso ist das so??? wenn ich bspw. F(x) = x^2 als Stammfunktion habe, und die Fläche zwischen 1 und 2 haben möchte, dann ist F(1) = 1^2 = 1 und nicht 0. Was bringt das Nullsetzen?

Jedenfalls steht in der angehängten Lösung, dass die Funktion stetig sein muss und deshalb beim ersten abschnitt x= 0 und y=0 gesetzt werden und nach der Integrationskonstanten C1 umgestellt werden muss. Das würde ich verstehen, denn beim Übergang von -unendlich zu 0 muss die Funktion von links als auch von rechts gegen den gleichen wert laufen. Das heißt ab 0 steigt die funktion dann linear an bis x =1. Ab x=1 steigt die funktion dann quadratischen und bei 1 müssen beide funktionen gegen den gleichen wert laufen um stetig zu sein,

Aber was ich nicht verstehe ist, wieso in der LÖsung für diesen Abschnitt x= 2 und y=1 sein muss. Das ergibt für mich gar keinen Sinn. Kann mir das jemand erklären?

Des Weiteren verstehe ich nicht wieso aufeinmal die verteilungsfunktion ab x=2 konstant mit 1 weitergeht, obwohl die dichte funktion als 0 definiert ist. Das würde ja bedeuten, dass die Vertrilungsfunktion gegen unendlich strebt.. damit wäre es ja keien Verteilungsfuntkion mehr, da diese maximal eine fläche von 1 einschließt

24.06.2017, 15:07

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion aus Funktionsstücken ermitteln

Zitat:

Aber was ich nicht verstehe ist, wieso in der LÖsung für diesen Abschnitt x= 2 und y=1 sein muss. Das ergibt für mich gar keinen Sinn. Kann mir das jemand erklären?

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ . Da außerdem $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, folgt $\begin{eqnarray*} F(2)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Des Weiteren verstehe ich nicht wieso aufeinmal die verteilungsfunktion ab x=2 konstant mit 1 weitergeht, obwohl die dichte funktion als 0 definiert ist.

Genau, es gilt also für die ZV $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} X\leq 2\, f.s. \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das würde ja bedeuten, dass die Vertrilungsfunktion gegen unendlich strebt..

Unsinn! Wie kann denn eine konstante Funktion gegen Unendlich streben!?

Zitat:

damit wäre es ja keien Verteilungsfuntkion mehr, da diese maximal eine fläche von 1 einschließt

Du verwechselst Dichte und Verteilungsfunktion.

24.06.2017, 15:12

SchnippSchnappp

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Îch habe nochmal nachgerechnet und evtl. eine Erklärung gefunden:

Die Verteilungsfunktion kummuliert die wahrscheinlichkeiten der Dichtefunktion beginnend bei -unendlich auf bis zu Stelle x.
Das bedeutet für mich, dass wenn die oben gegebene DichteFunktion von -unendlich bis 0 den Wert Null hatte die Wahrscheinlichkeit also der Wert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle auch Null sein muss. Das bedeutet das Integral, welches sich aus der Dichtefunktion für diesen Abschnitt ergibt muss bei x=0 den Wert Y=0 haben. Das gleiche gilt für das "Ende" also ganz Rechts bei 2, da dort die Dichtefunktion auf Null springt und somit keine weiteren Zufallswerte mehr auftauchen können. Demnach muss ab dort die Verteilungsfuntkion den Wert 1 haben und halten, da sich bis dort hin 100% aller zufallwerte einstellen (auch wenn es realitätsfremd ist).

Ich vermute, dass man zwischen den beiden Funktionen also an der Stelle 1 die stetigkeit nicht prüfen muss, da diese durch die Dichtefunktion bereits gegeben ist.

Kann man sich das ganze in etwa so vorstellen?

24.06.2017, 15:17

SchnippSchnappp

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@Shigh
ja richtig danke ich hatte Dichte mit Verteilungsfunktion verwechselt. Ich finde es immer schwer mir das ganze vorzustellen und das der Y Wert der Verteilungsfunktion wirklich der Wert ist, der sich von der Dichtefunktion bis dahin aufkummuliert hat.

24.06.2017, 15:34

SchnippSchnappp

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Eine Sache fällt mir aber noch ein. Wie gehe ich sicher, dass die Verteilungsfunktion am Übergang der beiden Funktionen an der Stelle x=1 stetig ist? Ich habe es nur für die Grenzen bei 0 und 2 gemacht. Hier ist es an der Stelle 1 zwar bei beiden zufällig 0,5 doch es könnte schließlich auch unterschiedliche EWerte herauskommen oder nicht?

24.06.2017, 16:10

HAL 9000

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vielleicht hilft es beim Verständnis...
Vor einiger Zeit habe ich mal folgendes geschrieben zur Bestimmung der Verteilungsfunktion bei abschnittsweise gegebenen Dichten (ein besserer Name fällt mir auch nicht ein):

https://www.matheboard.de/thread.php?pos...964#post2070964

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