irreduzibles Polynom in 4-elementigem Körper

24.06.2017, 17:46	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
irreduzibles Polynom in 4-elementigem Körper Hallo allerseits, sei $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ ein 4-elementiger Körper. Beweise, dass das Polynom $\begin{eqnarray} x^3+x+1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} K_4[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Berechne die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray} K_4[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray}$ . Was ich mir dazu überlegt habe, ist, dass $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} GF(2^2) \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß, dass man $\begin{eqnarray} GF(2^2) \end{eqnarray}$ als Zerfällungskörper des Polynoms $\begin{eqnarray} x^{2^2}-x \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ erhält. Darum habe ich versucht, die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen. Ich habe aber nur zwei Nullstellen, 0 und 1, gefunden. Nun weiß ich noch weder, wie ich damit herausfinde, welche Elemente eigentlich in GF(2^2) liegen noch habe ich eine Idee, wie ich dann die Irreduzibilität von $\begin{eqnarray} x^3+x+1 \end{eqnarray}$ zeigen kann. Wäre dankbar für euren Input.
24.06.2017, 18:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mit einer konkreten Realisierung des Körpers arbeiten. Die multiplikative Gruppe des Körpers ist dreielementig und damit zyklisch. Nehmen wir an, daß sie von $\begin{align} \vartheta \end{align}$ erzeugt wird: $\begin{align} 1, \vartheta, \vartheta^2 \end{align}$ mit $\begin{align} \vartheta^3 = 1 \end{align}$ . Dazu kommt noch das Nullelement, und fertig ist der Körper: $\begin{align} K_4 = \left\{ 0,1,\vartheta,\vartheta^2 \right\} \end{align}$ Wenn ein Polynom dritten Grades zerlegbar ist, dann muß es mindestens einen linearen Faktor und somit mindestens eine Nullstelle besitzen. Also mußt du nur zeigen, daß $\begin{align} x^3 + x + 1 \end{align}$ keine Nullstelle besitzt. Überlege die Möglichkeiten, wenn du $\begin{align} 0,1,\vartheta \end{align}$ oder $\begin{align} \vartheta^2 \end{align}$ einsetzt. Beachte, daß der Körper die Charakteristik 2 besitzt.
24.06.2017, 20:24	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine schnelle Antwort, Leopold! Dass nur drei Elemente in der multiplikative Gruppe liegen können, ist mir, glaube ich, klar, denn das vierte Element fällt ja weg, weil es ein neutrales bezüglich der Addition geben muss und dieses nicht in der multiplikativen Gruppe liegen kann. Wie kommst du aber darauf, dass $\begin{eqnarray} \vartheta^3=1 \end{eqnarray}$ sein muss und wieso muss das dritte Element das Quadrat von $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ sein? Dass der Körper die Charakteristik 2 besitzt, erkennt man daran, dass 4=p^n mit p=2 (und n=2) oder? Analog hätte dann der Körper mit 9 Elemten Charakteristik 3, weil 9=3^2? Dass die Charakteristik zwei ist, bedeutet, dass 1+1=0 in der additiven Untergruppe... Wenn wir in das Polynom nun 0 einsetzen, erhalte wir 1 und nicht Null, also keine Nullstelle. Wenn wir in das Polynom 1 einsetzen, erhalten wir 111+1+1=1+1+1=0+1=1, also auch keine Nullstelle. Wenn wir in das Polynom $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ einsetzen, erhalten wir $\begin{eqnarray} 1+\vartheta+1=0+\vartheta=\vartheta \end{eqnarray}$ , also keine Nullstelle. Wenn wir in das Polynom $\begin{eqnarray} \vartheta^2 \end{eqnarray}$ einsetzen, erhalten wir $\begin{eqnarray} 11+\vartheta^2+1=0+\vartheta^2=\vartheta^2 \end{eqnarray}$ , also ebenso keine Nullstelle. Damit haben wir mittels brute-force erfolgreich gezeigt, dass das Polynom irreduzibel ist. Aber noch zum Verständnis: Wie sieht denn die Addition hier aus, also was ist etwa $\begin{eqnarray} \vartheta + \vartheta \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \vartheta+\vartheta^2 \end{eqnarray*}$ ?
24.06.2017, 20:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen Charakteristik 2 ist $\begin{align} t+t=0 \end{align}$ für alle $\begin{align} t \in K_4 \end{align}$ (klammere $\begin{align} t \end{align}$ aus). Für die additive Gruppe des Körpers kannst du eine Gruppentafel erstellen. Die Wirkung von 0 ist klar, ebenso $\begin{align} t+t=0 \end{align}$ . Bleiben von den 16 Feldern noch 6 auszufüllen. Und weil in einer Gruppentafel in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal vorkommen muß, gibt es nur eine Möglichkeit, die Gruppentafel auszufüllen. Du erhältst die Kleinsche Vierergruppe. Wenn $\begin{align} \vartheta \end{align}$ ein von 0 und 1 verschiedenes Element des Körpers ist, also insbesondere ein Element der multiplikativen Gruppe des Körpers ist, dann muß nach einem elementaren Satz der Gruppentheorie $\begin{align} \vartheta^{\text{Gruppenordnung}} = \text{neutrales Element} \end{align}$ sein. Im übrigen ist eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers immer zyklisch. Vielleicht hattet ihr das noch nicht.
25.06.2017, 12:36	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, danke, das ist alles nachvollziehbar. War das richtig, was ich geschrieben habe, dass ein Körper mit 9 Elementen Charakteristik 3 hat? Wir hatten den Satz, dass jede Untergruppe einer beliebigen zyklischen Gruppe zyklisch ist. Und bei endlichen Körpern muss die multiplikative Gruppe wohl auch zyklisch sein, das heißt, der Satz lässt sich da anwenden. Wenn dem so ist, habe ich es so weit verstanden, danke dir! Stimmt es, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2(x_1, x_1^2) \end{eqnarray}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} x^4-x \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} x_1, x_1^2 \end{eqnarray}$ neben 0 und 1 die Nullstellen von x^4-x sind und somit $\begin{eqnarray} K_4 \end{eqnarray}$ isomorph dazu ist? Nun fehlt noch die Bestimmung der (Anzahl der) Elemente von $\begin{eqnarray} K_4[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray}$ Meine Vermutung wäre, dass wir nur Polynome von Grad kleiner drei haben, weil sich alle darüber wegen $\begin{eqnarray} x^3=-x-1 \end{eqnarray}$ durch niedrigere darstellen lassen. Dann besteht der Faktorring also aus den Elementen $\begin{eqnarray} \{\sum_{k=0}^2a_k\cdot x^k\|a_k \in \{0,1,\vartheta, \vartheta^2\} \end{eqnarray}$ und das sind $\begin{eqnarray} 4^3 \end{eqnarray}$ verschiedene Polynome.

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