Extremwerte Funktion mehrer Veränderlicher

24.06.2017, 16:05

Marsuxxx

Extremwerte Funktion mehrer Veränderlicher

Hallo, es geht um folgende Aufgabe (siehe Foto).

Für die Extremwerte brauche ich ja die partiellen Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} P_{A} (A,K) = 5 A^{-1/2} K^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{K} (A,K) = 5 A^{1/2} K^{-1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{AA} (A,K) = -5/2 A^{-3/2} K^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{KK} (A,K) = -5/2 A^{1/2} K^{-3/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{AK} (A,K) = 5/2 A^{-1/2} K^{-1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{KA} (A,K) = 5/2 A^{-1/2} K^{-1/2} \end{eqnarray*}$

Die beiden erten Ableitungen würde ich dann Null setzen, das Gleichungssystem lösen und die Extremstellen ausrechnen. Mit den 2. Ableitungen dann den Nachweis führen, ob max. oder min. Produktion.

Aber wo berücksichtige ich jetzt die 24 bzw. 32 Geldeineinheitem für Arbeit und Kapital, die noch im Text gegeben sind?

Besten Dank für Eure Unterstützung.

24.06.2017, 23:27

mYthos

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Das ist die Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} 24A + 32K = 240 \ \to \ 3A + 4K -30 = 0 \end{eqnarray*}$

Du musst also einen Lagrange-Ansatz* machen und dann erst [von der Lagrange-Funktion $\begin{eqnarray*} L(A,K,\lambda) \end{eqnarray*}$ ] die partiellen Ableitungen bilden und Null setzen.

mY+

(*) $\begin{eqnarray*} L(A,K,\lambda)= 10 \sqrt {AK}+\lambda(30-3A-4K) \end{eqnarray*}$
[Bei richtiger Rechnung: A = 5, K = 3.75]

25.06.2017, 14:55

Marsuxxx

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Zitat:

Original von mYthos
(*) $\begin{eqnarray*} L(A,K,\lambda)= 10 \sqrt {AK}+\lambda(30-3A-4K) \end{eqnarray*}$
[Bei richtiger Rechnung: A = 5, K = 3.75]

Besten Dank! Bin jetzt auch auf das Ergebnis gekommen. Wink

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