Wahrscheinlichkeit für zwei Poisson-Variablen.

25.06.2017, 01:51

Dukkha

Wahrscheinlichkeit für zwei Poisson-Variablen.

Hallo zusammen,

Ich scheitere an folgender Berechnung: Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen und Poisson verteilt mit $\begin{eqnarray*} \gamma_x,\gamma_y \end{eqnarray*}$ . Nun möchte ich $\begin{eqnarray*} P(X<Y) \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} <br /> P(X<Y)=P(t<Y,X<t)=e^{-\gamma_x}e^{-\gamma_x}\sum\limits_{y=0}^\infty \frac{\gamma_y^y}{y!} \sum\limits_{x=0}^y \frac{\gamma_x^x}{x!}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, die innere Summe umzuschreiben, fand aber kein fruchtbares Ergebnis. Hat jemand eine Idee?

Vielleicht geht es über die bedingte Wahrscheinlichkeit irgendwie?

25.06.2017, 07:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind ein paar kleinere Fehler drin:

Zum einen ist ja $\begin{align*} X<Y \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} X\leq Y \end{align*}$ , deshalb müssen die Summationsbereiche etwas angepasst werden. Zudem fehlen die $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ -Exponenten. Richtig ist

$\begin{align*} P(X<Y) = e^{-\gamma_x-\gamma_y} \sum_{y=1}^{\infty} \frac{\gamma_y^y}{y!} \sum_{x=0}^{y-1} \frac{\gamma_x^x}{x!} \end{align*}$ .

Für eine Vereinfachung der Doppelsumme sehe ich allerdings schwarz.

25.06.2017, 08:50

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Es sind ein paar kleinere Fehler drin:

Zum einen ist ja $\begin{align*} X<Y \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} X\leq Y \end{align*}$ , deshalb müssen die Summationsbereiche etwas angepasst werden. Zudem fehlen die $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ -Exponenten. Richtig ist

$\begin{align*} P(X<Y) = e^{-\gamma_x-\gamma_y} \sum_{y=1}^{\infty} \frac{\gamma_y^y}{y!} \sum_{x=0}^{y-1} \frac{\gamma_x^x}{x!} \end{align*}$

Für eine Vereinfachung der Doppelsumme sehe ich allerdings schwarz.

Ja stimmt, es sind ja diskreten Variablen und es tut mir leid, dass es in der Wahrscheinlichkeitfunktions einen Fehler gab.

Ich habe das Resultat für den Term. Das Ergebnis sollte sein:

$\begin{eqnarray*} P(X <Y)=\frac{\gamma_x}{\gamma_x+\gamma_y} \end{eqnarray*}$

Es sieht ein bisschen so aus, als ob man einen Trick über die bedingte Wahrscheinlichkeit machen müsste.

Edit: Ich glaub zwar nicht, dass man es hier braucht. Ich kenne noch folgende Identität für Poissson Zufallsvariablen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X=k\mid X+Y = n)=\text{Bi}(n, \frac{\gamma_x}{\gamma_x+\gamma_y}) \end{eqnarray*}$

25.06.2017, 09:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dukkha
Ich habe das Resultat für den Term. Das Ergebnis sollte sei,,n:

$\begin{eqnarray*} P(X <Y)=\frac{\gamma_x}{\gamma_x+\gamma_y} \end{eqnarray*}$

Das ist mit Sicherheit i.a. falsch: Für $\begin{eqnarray*} \gamma_x=\gamma_y \end{eqnarray*}$ käme da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ heraus. Aus Symmetriegründen ist in diesem Fall aber auch $\begin{eqnarray*} P(X<Y)=P(Y<X) \end{eqnarray*}$ , insgesamt also

$\begin{eqnarray*} P(X=Y) = 1-P(X\neq Y) = 1-P(X<Y)-P(Y<X) \stackrel{?}{=} 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht: Es ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} P(X=Y)>0 \end{eqnarray*}$ , da ja bereits $\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0)>0 \end{eqnarray*}$ ist. unglücklich

--------------------------------------

Für $\begin{align*} \gamma_x = \gamma_y =: \gamma \end{align*}$ kann man übrigens die vorgenannte Symmetrie nutzen, um zumindest eine Einfachsumme statt einer Doppelsumme in der Berechnungsformel zu haben:

$\begin{align*} P(X<Y) = \frac{1-P(X=Y)}{2} = \frac{1}{2}\left( 1-e^{-2\gamma} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\gamma^{2k}}{k!^2} \right) \end{align*}$

Für $\begin{align*} \gamma=1 \end{align*}$ zeigt eine numerische Rechnung $\begin{align*} P(X<Y)\approx 0.3457 \end{align*}$ , weit weg von den angeblichen $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ .

EDIT: Mir kommt da noch ein Gedanke: Du verwechselst da nicht zufällig die diskrete Poisson- mit der stetigen Exponentialverteilung? Für $\begin{align*} X\sim \operatorname{Exp}(\gamma_x) \end{align*}$ und $\begin{align*} Y\sim \operatorname{Exp}(\gamma_y) \end{align*}$ gilt nämlich tatsächlich

$\begin{align*} P(X<Y) = \int\limits_0^{\infty} F_X(t) f_Y(t) ~ \dd t = \int\limits_0^{\infty} \left(1-e^{-\gamma_x t}\right)\gamma_y e^{-\gamma_y t} ~ \dd t = \gamma_y\int\limits_0^{\infty} \left(e^{-\gamma_y t}-e^{-(\gamma_x+\gamma_y) t}\right) ~ \dd t = \gamma_y \left( \frac{1}{\gamma_y} - \frac{1}{\gamma_x+\gamma_y} \right) = \frac{\gamma_x}{\gamma_x+\gamma_y} \end{align*}$ .

EDIT2: Anscheinend hat da einer das Interesse verloren ... kann man nix machen. Schade um die vertane Zeit. Finger2

27.06.2017, 13:49

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000,

Nein auf keinen Fall smile

ich hatte leider keine Zeit zum Antworten. Vielen Dank für Deinen Beitrag. Du hast recht, es handelt sich tatsächlich um die Exponential-Verteilung. Es sind zwar Poisson-Variablen, allerdings eines Poisson-Prozesses, dessen Zwischenzeiten jedoch wieder exponential-verteilt sind.

Die Aufgabe lautete: " Let X,Y,Z be the occupation time having distribution Poisson with parameters $\begin{eqnarray*} \gamma_x,\gamma_y,\gamma_z \end{eqnarray*}$ ", worauf ich schloss, dass $\begin{eqnarray*} P(X<Y) \end{eqnarray*}$ Poisson verteilt sein muss.

Vielen Dank für Deine Hilfe!

EDIT: Meinte natürlich Exponential-Verteilung.

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit für zwei Poisson-Variablen.

Verwandte Themen