Funktionswert bestimmen (Integralrechnung, Funktion mit drei Parameter)

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25.06.2017, 14:10	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionswert bestimmen (Integralrechnung, Funktion mit drei Parameter) Meine Frage: Gegeben ist eine Polynomfunktion f(x)=ax^3+bx^2+cx, mit reellen Koeffizienten a,b und c. Ihr Graph hat bei x=1 ein Maximum und bei x=2 einen Wendepunkt. Außerdem schließt er mit der x-Achse eine Fläche von 9 FE ein. Berechnen Sie den Funktionswert (konkreten Zahlenwert!) an der Wendestelle. Meine Ideen: Um auf den y-Wert des Wendepunktes zu kommen muss ich alle Parameter lösen, da ich f(2) berechnen möchte um auf den y-Wert zu kommen. Da ich die Fläche habe kann ich folgendes aufstellen: $\begin{eqnarray} 9FE= \int_{1}^{2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9FE= \int_{1}^{2} \!(ax^3+b^2+cx) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9FE= \left[\frac{a}{4}x^4+\frac{b}{3}x^3+\frac{c}{2}x^2\right]_{1}^{2} \end{eqnarray*}$ Edit (mY+): LateX berichtigt (Zeilen in Tags eingeschlossen). Hier komm ich nicht weiter. Bei einem Parameter könnte man einfach die Grenzen einsetzten und dann nach dem Parameter auflösen aber bei drei? Ich denke an Gleichungen aber ich weiß nicht wie und was... Ich hoffe jemand kann mir helfen. Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig verkehrt.
25.06.2017, 14:19	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe eigentlich den Formeleditor verwendet aber scheint nicht geklappt zu haben.
25.06.2017, 16:18	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit eine Formel als Latexformel angezeigt wird, musst du sie zum Schluss in Latextags einschließen. Ich mache das mal an einem Beispiel: $\begin{eqnarray} 9FE= \int_{ug}^{og} \!(ax^3+bx^2+cx) \, dx \end{eqnarray}$ Wie das aussieht, siehst du, wenn du mal auf Zitat gehst. latex kann dabei auch einfach mit l abgekürzt werden. Alternativ kannst du die Formel markieren und auf die Schaltfläche f(x) drücken. Die Angeben zum Maximum und zum Wendepunkt reichen aus, um die Konstanten $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auszudrücken. Damit die Angabe der Fläche Sinn ergibt, muss die Funktion neben $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ noch eine weitere Nullstelle haben. Diese bekommst du, wenn du die Funktion gleich Null setzt und dabei die gewonnene Information über $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ benützt. Beachte, ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Mit der Information über die zweite Nullstelle wird das Integral für die Fläche ein bestimmtes Integral, dessen Grenzen du kennst. Das kannst du jetzt ausrechnen und damit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bestimmen.
25.06.2017, 17:47	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung Ich verstehe nicht was mit " die Konstanten $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auszudrücken" gemeint ist. Wie geht das? Muss ich nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ umstellen? Das habe ich gemacht aber ich habe ja keinen Wert für y. Es muss anders gemeint sein. Bitte um eine Antwort. Es ist so gut erklärt worden aber den Anfang bekomme ich nicht hin. Schon mal vielen Dank.
25.06.2017, 17:56	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ soll ein Wendepunkt sein. Das bedeutet $\begin{eqnarray} f''(2)=0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 12a+2b=0 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} b=-6a \end{eqnarray}$ Jetzt gehst du analog mit dem Maximum vor. Dabei kannst du $\begin{eqnarray} b=-6a \end{eqnarray}$ schon benutzen.
25.06.2017, 20:40	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Huggy! Ich habe mal versucht das Ganze umzusetzten. Ist das so richtig? $\begin{eqnarray} f(x)'' = 6ax+2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(2)= 12a+2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=-6a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= 3ax^2+2bx+c<br /> f''(x)= 3a+2b+c=<br /> 3a-12a+c<br /> c=9a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=ax^3-6ax^2+9ax<br /> 0=ax^3-6ax^2+9ax<br /> Polynomdivision, x_{1}=0:<br /> -> ax^2-6ax+9a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(x^2-6x+9)<br /> x^2-6x+9=0<br /> x_{2}=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{3} \! ( ax^3-6ax^2+9a) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\frac{a}{4}x^4+\frac{6a}{3x^3}+\frac{9a}{2}x^2 \right]_{0}^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\frac{81}{4}a+54a+\frac{9}{2}a \right]_{0}^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=\frac{35}{4}<br /> b=-6a=-\frac{105}{2}<br /> c=9a=\frac{315}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x)=\frac{35}{4}x^3-\frac{105}{2}x^2+\frac{315}{4}x<br /> \Rightarrow f(2)=\frac{35}{2}= 17,5<br /> \Rightarrow W(2;17,5) \end{eqnarray*}$ )
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25.06.2017, 21:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rechenweg ist prinzipiell richtig. Allerdings hast du einige Formfehler, z.B. fehlende Gleichheitszeichen. Dann sind da noch Schreib- und Rechenfehler: das $\begin{align} x^3 \end{align}$ gehört sicher in den Zähler, nicht in den Nenner. Und das Pluszeichen davor sollte ein Minuszeichen sein. Und $\begin{align} \frac{9}{2} a \end{align}$ zum Schluß ist auch nicht korrekt. Der richtige Wert für $\begin{align} a \end{align}$ ist $\begin{align} a = \frac{4}{3} \end{align}$ . Der Funktionsterm kann übrigens einfacher faktorisiert werden: $\begin{align} f(x) = ax^3 - 6ax^2 + 9ax = ax \left( x^2 - 6x + 9 \right) = ax (x-3)^2 \end{align}$ Man kann daran die Nullstellen von $\begin{align} f \end{align}$ unmittelbar ablesen: 0 und 3. Und da $\begin{align} x \cdot (x-3)^2 \end{align}$ dazwischen positiv ist, muß $\begin{align} a \end{align}$ auch positiv sein. Sonst befände sich bei $\begin{align} x=1 \end{align}$ kein Hochpunkt, sondern ein Tiefpunkt. Aus diesem Grund ist der Ansatz "Integral=9" korrekt. Würde an der Stelle $\begin{align} x=1 \end{align}$ ein Tiefpunkt verlangt werden, wäre der korrekte Ansatz "Integral=-9". Das sind so die Feinheiten bei der Argumentation.
25.06.2017, 22:01	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold! Vielen Dank für deine Korrektur. Ich habe jetzt folgende Werte erhalten und denke, dass es stimmen könnte so: $\begin{eqnarray} a= \frac{4}{3}<br /> b= -8<br /> c= 12<br /> <br /> \Rightarrow f(x)= \frac{4}{3}x^3-8x^2+12x<br /> \Rightarrow f(2)=\frac{8}{3}\Rightarrow W(2;\frac{8}{3}) \end{eqnarray}$
26.06.2017, 08:12	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist alles richtig. @Leopold Danke, dass du in der Spätschicht eingesprungen bist..
26.06.2017, 08:36	Mathe0001	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden vielmals! Habt mir wirklich sehr gut geholfen.

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